Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

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obtemos:
6
m=1
Acarretando:
Cn,k+1 =
Cm,k+1 Tr
Zm Z T n
=
6
m=1
6 Tr
Cm,k
m= 1
ΛZm
ZT n
Tr
Zn ZT n
Cm,k Tr ΛZm Z T n
⇒ Cn,k+1 Tr
=
6
m=1
Zn Z T n
Λ nm Cm,k
⇒
=
6
m=1
Cm,k Tr ΛZm Z T n
onde usamos (3.55) que nos fornece os elementos Λ nm . Esta última equação pode ser posta
convenientemente na forma vetorial a seguir:
Ck+1 = Λ6×6 Ck
que é a relação de recorrência da atuação da matriz Λ6×6 sobre os vetores Ck de (B.1).
Desta forma:
Ck = Λ k
6×6 C0 ⇒ Cm,k = Λ k
6×6 C0
m
Finalmente, a matriz densidade fica:
ρ (t) =
=
=
1
6N
1
6N
1
6N
∞
k =0
∞
k =0
6
m=1
t k
k! Λ k
16N = 1
6N
t k
k!
6
m=1
∞
k = 0
t k
k!
k
Λ6×6 C0
m Zm =
tΛ6×6 e C0 m Zm
6
m= 1
Cm,k Zm =
Este último resultado nos diz que toda a informação necessária ao estudo da evolução da
média da matriz densidade ρ(t), está contida nas matrizes Zm e no superoperador Λ restrito
ao subespaço expandido por estas seis matrizes.