Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

Capítulo 1
Introdução
Neste trabalho utilizaremos o Método Estocástico para calcular o expoente de Lyapunov
máximo de um sistema hamiltoniano com muitos graus de liberdade. Aplicaremos a teoria
a um sistema descrito por uma função hamiltoniana usual, suave, com um termo puramente
cinético e com energia potencial dependente exclusivamente das posições. No presente caso,
a interação entre partículas será regida pelo potencial de Lennard–Jones, sistema para o
qual, ainda, não há nenhum resultado teórico disponível. O Método Estocástico, da maneira
que será apresentado aqui, foi originalmente proposto por Vallejos & Anteneodo em [1],
com aplicações em [2,3] e na Dissertação de Mestrado [4], objetivando tratar analiticamente
sistemas hamiltonianos com estas propriedades. Antes de apresentarmos mais detalhes sobre
o método, discutiremos um pouco sobre o expoente de Lyapunov e algumas teorias que
abordam as mesmas questões.
1.1 Expoente de Lyapunov e caos
O nome de Lyapunov (A. M. Lyapunov 1857 – 1918) sempre esteve associado à estabilidade
de sistemas dinâmicos. Seus trabalhos colocaram em bases formais conceitos atualmente
conhecidos como estabilidade segundo Lyapunov, estabilidade assintótica segundo Lyapunov,
que, juntamente com os de Poincaré (estabilidade segundo Poincaré ), constituem o arcabouço
moderno da área (ver Meirovitch [5] para as definições precisas). No final do século XIX e
início do século XX, inspiradas pelo problema de três corpos, questões sobre a estabilidade do
movimento, quando da presença de perturbações, eram muito estudadas (continuavam sendo,
mais precisamente). Buscavam-se respostas acerca do efeito de perturbações na separação
de trajetórias o que, de maneira geral, caracteriza a estabilidade ou instabilidade de um
sistema. Ainda não havia um consenso de que o determinismo dos sistemas hamiltonianos
não é uma condição suficiente para garantir a previsibilidade, o que definiria a estabilidade
ou não do movimento, embora os trabalhos de Poincaré já apontassem nesta direção. Os
resultados de Poincaré indicavam que o problema de três corpos, por exemplo, era insolúvel
não devido a dificuldades técnicas (matemáticas) mas sim devido a questões inerentes ao
próprio sistema. O problema dos pequenos denominadores que impedia a convergência das
séries perturbativas eram conseqüências físicas reais.
A capacidade de predição para um sistema hamiltoniano só se manifesta estritamente
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