Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 37
obter:
ΛZ1 Z T 2 = ΛI1 I T 2 = −
O V
O O
+ 2
∞
0
dτ
′ O τ δV (t)δV (t )
O δV(t)δV (t ′ )
Então, substituindo este último resultado em (3.55) e usando (3.54), vem:
Λ 21 =
Tr ΛI1 I T 2
Tr
I2 I T 2
= 2
3N
∞
3.9 Aproximação isotrópica
0
dτ Tr δV (t)δV (t ′ )
A matriz Λ6×6 possui seis autovalores que necessitamos calcular para obtermos o expoente
de Lyapunov. No entanto, três destes autovalores são iguais a zero e os outros três, a menos
de correções da ordem de N −1 , são os autovalores da matriz Λ II associada ao setor I da
base (ver demonstração no apêndice A). Baseando neste resultado, doravante voltaremos
nossa atenção apenas para a matriz Λ II , que passaremos a denotar por Λ3×3 , isto é:
Λ3×3 = Λ II
Ao processo de descartar termos da ordem de N −1 e obter a equivalência entre as matri-
zes Λ 6×6 e Λ 3×3 no que tange a seus autovalores, chamaremos de aproximação isotrópica.
Formalmente, a aproximação isotrópica consiste em restringir o superoperador Λ ao setor I
da base.
Como comentamos na seção anterior, o cálculo completo de todos os 36 elementos de Λ6×6
encontra-se no apêndice A. Os nove elementos da aproximação isotrópica que formam a
matriz Λ3×3 são:
Λ3×3 =
⎛
⎜
⎝
0
2σ
0 2
2
λ τ(1) c − 2σ 2
λ τ(3) c − 2 µ
−µ +2σ 2
λ τ(2) c 1 − 2σ 2
λ τ(3)
⎞
⎟
⎠
c
(3.58)
onde estamos usando as seguintes definições (compare com os resultados para Λ11 e Λ21
obtidos na seção anterior):
e:
µ = 1
3N Tr V , σ 2
λ
τ (k+1)
c
=
∞
0
= 1
3N
Tr
(δV) 2
(3.59)
dτ τ k fc (τ) (3.60)