Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

D. Função de distribuição radial 115
Olhemos agora o valor médio do termo geral na expansão de b :
=
d 3 x1 . . .d 3 xN
N!
(N − s)!s!
⎡
⎣ 1
s!
N
N
· · ·
j1 = 1 j2 = j1
N
js = js−1
⎤
bs (xj1,xj2, . . .,xjs) ⎦ F (x1, . . . ,xN) =
d 3 x1 . . .d 3 xN bs (x1, . . . ,xs) F (x1, . . . ,xN) =
= 1
s!
d 3 xs+1 . . . d 3 xN bs (x1, . . . ,xs) fs (x1, . . .,xs) (D.6)
onde usamos a propriedade de simetria de F e de bs por permutação ‡ . Foi definida também
a função de distribuição reduzida de s partículas:
fs (x1, . . .,xs) =
N!
(N − s)!
d 3 xs+1 . . . d 3 xN F (x1, . . . ,xN) (D.7)
que fisicamente representa a distribuição de probabilidade associada a encontrar s, entre
as N partículas do sistema, nas posições de fase x1 , . . .,xs. Não estando, necessariamente,
a partícula i vinculada à posição xi, daí a normalização de fs ser diferente de 1:
d 3 x1 . . .d 3 xs fs (x1, . . . ,xs) =
N!
(N − s)!
D.2 Sistemas espacialmente homogêneos
A função de distribuição de uma partícula, f1 (x1), é a mais simples dentre as funções geradas
pela equação (D.7). Ela representa a densidade de probabilidade associada a encontrarmos
qualquer uma das N partículas do sistema na posição de fase x1 = (r1,p1). No caso
de um cristal, f1 (x1) dependerá da estrutura da rede, mas para um fluido uniforme e
isotrópico, todos os pontos r1 dentro de um volume V são equivalentes. Sistemas com esta
propriedade são chamados de espacialmente homogêneos e suas propriedades físicas locais
(intensivas), tais como temperatura, pressão e densidade, são iguais em todos os pontos
do espaço. Matematicamente, um sistema espacialmente homogêneo apresenta invariância
translacional da função de distribuição reduzida:
fs (r1 + a, . . . ,rs + a,p1, . . .,ps) = fs (r1, . . .,rs,p1, . . . ,ps) (D.8)
sendo a um vetor constante arbitrário. Para tais sistemas, fs (x1, . . . ,xs) depende de s − 1
variáveis de posição. Em particular, f1 (x1) depende apenas do momento. Com efeito, em
vista da equação (D.8), usando a definição de f1 (ver Eq. (D.5)) e a normalização de F (ver
‡ Notar que trocamos a estrutura da soma:
i=1 j > i
(· · ·) = 1
2!
(· · ·)
i=1 j = i
Não existe uma diferença substancial entre líquido e gás como na clara distinção que há entre sólido e
fluido. Referimo-nos como fluido ambos os estados, líquido ou gás, sendo a diferença entre eles essencialmente
uma diferença na densidade, excetuando regiões próximas à transição [31,61].