Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

C. Cálculos envolvendo o potencial 109
A equação (C.6) que acabamos de obter, embora elegante, é pouco prática. Podemos
contornar este fato notando que gradiente de uma função esfericamente simétrica é dado
por:
∂ Φ(rib)
∂ ri
= ∂ Φ(rib)
∂ rib
∂ rib
∂ ri
Ao aplicarmos o gradiente novamente, obtemos:
∂ 2 Φ(rib)
∂ r 2 i
= ∂ 2 Φ(rib)
∂ r 2
ib
Se escrevermos rib = x 2 ib
que, para i = b , temos:
∂ rib
∂ ri
= ri − rb
rib
Conseqüentemente:
∂ 2 rib
∂ r 2 i
= 1
rib
∂ rib
∂ ri
= rib
rib
2 ∂ rib
+ ∂ Φ(rib)
∂ ri
+ y 2
ib
− (rib)(rib)
r 3
ib
+ z 2
ib =
∂ rib
∂ 2 rib
∂ r 2 i
(C.7)
(xi − xb) 2 + (yi − yb) 2 + (zi − zb) 2 , vemos
(C.8)
Olhemos com mais atenção o gradiente presente na equação acima. Seu cálculo explícito é:
∂ rib
∂ ri
=
ˆx ∂
∂ xi
+ ˆy ∂
∂ yi
+ ˆz ∂
(xi − xb) ˆx + (yi − yb) ˆy + (zi − zb) ˆz
∂ zi
= ˆx ˆx + ˆy ˆy + ˆzˆz = 13 (C.9)
Ou seja, trata-se da matriz identidade 3 × 3. Desta forma, substituindo (C.8) em (C.7),
obtemos:
∂ 2 Φ(rib)
∂ r 2 i
= ∂ 2 Φ(rib)
∂ r 2
ib
∂
=
2 Φ(rib)
=
1
r 2
ib
1
rib
∂
∂ rib
∂ r 2
ib
(rib) (rib)
r 2
ib
1
rib
− 1
r 3
ib
∂ Φ(rib)
∂ rib
+ ∂ Φ(rib)
∂ rib
1
rib
13 − (rib)(rib)
r 3
ib
∂ Φ(rib)
(rib) (rib) + 1
∂ rib
(rib) (rib) + 1
rib
rib
∂ Φ(rib)
13
∂ rib
∂ Φ(rib)
13
∂ rib
= f (rib) (rib)(rib) + h(rib) 13 (C.10)
onde usamos as definições das funções auxiliares f (r) e h(r) dadas em (3.36). A justa-