Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

34 3.7. Base que expande a média da matriz densidade
3.7 Base que expande a média da matriz densidade
Agora estamos aptos a retomar à discussão sobre a dimensionalidade da base que expande
a média da matriz densidade ρ(t). Ao substituirmos na equação (3.25) os resultados
para V (t) e δV (t)δV (t − τ) como mostrados em (3.48), obtemos:
Λ12n = Λ16N =
O (1 − α1)13N − β1 Y3N
(1 − α1)13N − β1 Y3N
+
O
+ 2
∞
0
⎛
dτ ⎝
τ
O
τ
(1 − τ 2 )
α213N − β2 Y3N
α213N − β2 Y3N
α213N − β2 Y3N
Este resultado nos diz que a expansão da média da matriz densidade até primeira ordem
em t (ver equação (3.23) e (3.24)) pode ser expressa da seguinte forma:
1
ρ(t) =
6N e bΛ t
16N = 1
6N
= a1
13N O
O O
+a2
O O
O 13N
16N + t
Λ16N + · · · =
+a3
O
13N
13N
O
+a4
O O
O Y3N
⎞
⎠
O
+a5
Y3N
Y3N O
(3.49)
não nos preocuparemos com os objetos ai , focaremos, no momento, apenas nas matrizes.
Esta última equação nos sugere que estas cinco matrizes formam uma base, que, até primeira
ordem em t , expande a média da matriz densidade. No entanto, não pararemos na primeira
ordem. Vamos continuar considerando mais um termo na expansão. Para tanto, deveremos
analisar a aplicação Λ sobre as cinco matrizes presentes na equação (3.49); como todas são
simétricas, podemos continuar utilizando a equação (3.21). Ao fazermos isso (os detalhes
estão no apêndice A), notaremos que surgirá apenas mais uma matriz além das cinco que já
aparecem até a primeira ordem, a saber:
Y3N O
O O
(3.50)
que também é simétrica. Além disso, a aplicação de Λ sobre esta nova matriz não resulta
em nenhuma nova matriz. Isso quer dizer que o subespaço expandido por essas seis matrizes,
as cinco presentes na equação (3.49) mais a mostrada em (3.50), é completo, no sentido de
que qualquer potência do superoperador Λ aplicada à identidade 16N pode ser escrito como
uma combinação linear delas:
Λ k
16N =
3
i =1
αi,k Ii +
3
βi,k Yi , k = 0, 1, 2, . . . (3.51)
i =1