Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

70 6.4. Resultados para σ 2
λ
6.4.1 Parte 1: Tr V 2 / 3N
Escrevendo o traço da matriz maior V em termos das matrizes menores, obtemos para a
Parte 1:
1
3N Tr V 2 = 1
3N
= 1
3N
N
i =1
N
i =1
Tr
Tr
⎡
⎣
N
k = 1
⎡
⎢
⎣
Vqiqk Vqkqi
VqiqiVqiqi
Agora, substituindo o resultado para Vqiqk
traço, obtemos:
1
3N Tr V 2 = 1
3N
Onde definimos:
N
i = 1
⎧
N
⎪⎨ N
a = 1
a = i
⎪⎩
b =1
b = i
b = a
+
⎤
⎦
N
k = 1
k = i
Vqiqk Vqkqi
⎤
⎥
⎦
mostrado em (3.35) e efetuando a operação do
Γ (1)
3q (ri,ra,rb)
Γ (1)
2q (ri,ra) = f 2 (ria)r 4
ia + 2f (ria)h(ria)r 2
ia + 3h 2 (ria)
+ 2
Γ (1)
2q (ri,ra)
Γ (1)
3q (ri,ra,rb) = f (ria)f (rib)(ria · rib) 2 + f (ria)h(rib)r 2
ia + h(ria)f (rib)r 2
ib
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(6.5)
+ 3h(ria)h(rib)
A equação (6.5) é o resultado simulacional para a Parte 1. O resultado teórico é obtido
efetuando uma média canônica. Contudo, observando Γ (1)
3q (ri,ra,rb) notamos que é necessário
avaliarmos correlações que envolvem três partículas, fato que torna o procedimento
para obter o resultado analítico um pouco mais complexo do que os passos mostrados para
chegarmos na equação (6.3) para o caso de µ. Aqui, para tratarmos das correlações de três
corpos, utilizaremos a aproximação da superposição de Kirkwood que consiste em escrever a
parte configuracional da função de distribuição reduzida de três corpos como o produto de
funções de dois corpos (ver [54,56] ), de acordo com a equação a seguir:
f3q (r1,r2,r3) = 1
ρ 3 0
f2q (r1,r2)f2q (r1,r3)f2q (r2,r3) = ρ 3
0 g2 (r12)g2 (r13)g2 (|r13 − r12|)
onde na igualdade mais à direita escrevemos as funções de dois corpos em termos da função
de distribuição radial. Desta forma, utilizando a aproximação da superposição de Kirkwood,
a média analítica para a equação (6.5) se escreve:
1
3N Tr V 2 = 1
3 ρ2
0 d 3 r12 d 3 r13 Γ (1)
3q (r12,r13) g2 (r12) g2 (r13) g2 (|r13 − r12|) +
+ 2 4π ρ 0
3
dr12 r 2 12 Γ (1)
2q (r12) g2 (r12)
(6.6)