Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

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88 7.2. Analisando os resultados Figura 7.2: Ajuste não gaussiana da função de correlação. A figura apresenta dois dos três gráficos mostrados na figura 6.5 do capítulo anterior, mas, aqui, além do melhor ajuste gaussiano, vemos também o ajuste não gaussiano que, devido aos seus dois parâmetros livres, é mais adequado para reproduzir o perfil de fc (τ).
7. Conclusões e discussões 89 7.2.2 Médias temperada, recozida e aproximação isotrópica Com uma alta confiabilidade nos resultados obtidos para os parâmetros µ, σ 2 λ e τ (k) c , podemos discutir até que ponto as aproximações empregadas nas etapas do desenvolvimento da teoria relacionam-se com a diferença observada. A primeira aproximação que utilizamos foi a discutida na seção 3.1 e que consistiu em aproximar o expoente de Lyapunov verdadeiro, ou temperado, pelo expoente recozido, comutando a ordem em que as operações de média e de logaritmo são efetuadas: λ = lim t → ∞ 1 2t ln ξ (t;x0, ξ 0) 2 lim t → ∞ 1 2t ln ξ (t;x0, ξ 0) 2 (7.2) O Método Estocástico é construído baseado no expoente recozido, portanto os resultados obtidos com a teoria são referentes ao expoente λ ⋆ , que não é o expoente de Lyapunov verdadeiro λ. Embora exista uma relação formal entre ambos, é mais seguro aqui interpre- tarmos o expoente λ ⋆ não como uma aproximação de λ, mas como uma generalização. Desta forma, deixamos de questionar a validade da aproximação (7.2) e passamos interpretá-la no sentido prático: para os sistemas que apresentam valores próximos para os expoentes λ e λ ⋆ , o Método Estocástico é capaz de fornecer uma estimativa para o expoente de Lyapunov verdadeiro. Para o nosso sistema em particular, a proximidade entre os valores de λ e λ ⋆ foi verificada, como observamos na figura 2.5 da seção 2.4. O mesmo resultado se repetiu para o caso do HMF [2] e do αXY [3] , o que torna o Método Estocástico uma teoria, em princípio, adequada para estimar o expoente de Lyapunov λ para estes três sistemas. Conforme discutido nas seções 3.7 e 3.8, a base que expande a média da matriz densidade é composta por seis matrizes. Como resultado, o Método Estocástico associa o expoente de Lyapunov máximo com os autovalores de uma matriz 6 × 6 (ver Eq (3.56)). Esta descrição em termos de seis matrizes é possível devido à isotropia de nosso sistema, que nos permite expressar médias envolvendo a hessiana, presentes em matrizes originalmente com 6N × 6N elementos, como mostradas no par de equações (3.48). Na seção 3.9, discutimos a apro- ximação isotrópica que consiste em restringir à metade a dimensão da base e que nos permite obter λ em função dos autovalores da matriz 3 × 3 apresentada na equação (3.58). Como comentamos na introdução, inicialmente suspeitávamos que para um sistema intera- gindo com um potencial do tipo Lennard–Jones, a aproximação isotrópica poderia ser muito forte, resultado que nos obrigaria a buscar uma base maior. Contudo, como demonstrado no apêndice A, o erro cometido ao passarmos de uma descrição em termos de uma matriz 6 × 6 para uma 3×3 é da ordem de 1/N, o qual não justifica a diferença observada nos resultados finais para o expoente de Lyapunov.
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Centro Brasileiro de Pesquisas Fís
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