Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 23
onde as matrizes ρ (j)
0 possuem a seguinte estrutura:
ρ (1)
0 = ξ (1)
0 ξ (1)T
0
ρ (2)
0 = ξ (2)
0 ξ (2)T
0
=
=
⎛ ⎞
1
⎜
⎜0.
⎟
⎝ ⎠
0
⎛ ⎞
0
⎜
⎜1.
⎟
⎝ ⎠
0
1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
=
=
⎛ ⎞
1 0 · · · 0
⎜
⎜0
0 · · · 0⎟
⎝ ..
⎟
. . . . ⎠
0 0 · · · 0
⎛ ⎞
0 0 · · · 0
⎜
⎜0
1 · · · 0⎟
⎝ . ⎟
. . .. . ⎠
0 0 · · · 0
e assim sucessivamente até j = 2n. Desta forma, a equação (3.22) é uma média com pesos
iguais para todas as direções. Essa escolha fornece:
ρ (0)
{ρ0}
= 1
2n 12n
A média da matriz densidade num instante t , por sua vez, passa a ser escrita como:
ρ (t) = e bΛ t ρ(0)
{ρ0}
= 1
2n e bΛ t 12n
(3.23)
Este último resultado nos possibilita restringir 〈ρ (t)〉 ao subespaço gerado pelas matrizes
Λ k
12n com k = 0, 1, 2. . . . Isso é mais claramente percebido ao escrevermos a expansão
da exponencial como mostrado a seguir:
e bΛ t =
∞
k =0
t k
k! Λ k
= 12n + t Λ +
t 2
2! Λ 2
Então, se considerarmos o subespaço gerado pela base β =
resulta que 〈ρ(t)〉 estará neste subespaço (ver Fig. 3.1).
+ · · · (3.24)
12n , Λ12n , . . ., Λ k
12n , . . .
A questão que se coloca é: será necessário a base β completa, isto é, deveremos levar
em conta todos os termos na expansão mostrada na equação (3.24)? Ou seja, o conjunto de
matrizes β é linearmente independente? Não seguiremos o caminho formal para responder
esta questão, o que faremos será analisar a estrutura das matrizes obtidas através das suces-
sivas aplicações do superoperador Λ sobre a matriz identidade 12n e buscar simplificações
possíveis de forma a diminuir a dimensionalidade da base. Iniciaremos substituindo S por 12n
na equação (3.21). O resultado é:
Λ12n =
O 1n − V
1n − V
+
O
+ 2
∞
0
dτ
O τ δV(t)δV (t − τ)
τ δV (t) δV (t − τ) (1 − τ 2 ) δV(t) δV(t − τ)
,
(3.25)