Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

Capítulo 3
Método Estocástico
Neste capítulo, discutiremos um método analítico para obter o expoente de Lyapunov máximo
de um sistema hamiltoniano de muitos graus de liberdade. A teoria, chamada de Método Es-
tocástico, foi apresentada em [1] e utilizada em aplicações em [2] e [3] , além da Dissertação
de Mestrado [4] . Aqui seguiremos de perto o que foi exposto nestas quatro referências.
3.1 Expoente de Lyapunov como média microcanônica
Para uma função hamiltoniana quadrática nos momentos e com potencial U dependente
exclusivamente das coordenadas:
H = 1
2m
n
i = 1
p 2 i + U (q1, . . . , qn) (3.1)
a matriz A(t), que determina a dinâmica do vetor tangente ξ (t), terá a seguinte estrutura:
A(t) = ∇XH(x)
O 1n/m
=
x(t) −V (t) O
sendo V (t) = V (t;x0) a hessiana do potencial: matriz n × n cujos elementos são:
Vij = ∂ 2 U
∂qi∂qj
(3.2)
; i, j = 1, 2, . . . , n (3.3)
Para referência futura, notemos que A(t) pode ser decomposto na soma de duas matrizes
como a seguir:
A(t) = A0 + αA1 (t) =
O 1n/m
O O
+
O O
−V (t) O
(3.4)
A matriz A0 , que independe do tempo, está associada a evolução de um sistema cuja
hamiltoniana é puramente cinética – sem interação. Em todos os resultados subseqüentes
adotaremos m = 1.
É importante observarmos que a equação (3.3) exige que o potencial U seja ao menos
duas vezes diferenciável no domínio de interesse e é neste sentido que a expressão suave foi
15