Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

7. Conclusões e discussões 89
7.2.2 Médias temperada, recozida e aproximação isotrópica
Com uma alta confiabilidade nos resultados obtidos para os parâmetros µ, σ 2
λ e τ (k)
c ,
podemos discutir até que ponto as aproximações empregadas nas etapas do desenvolvimento
da teoria relacionam-se com a diferença observada. A primeira aproximação que utilizamos
foi a discutida na seção 3.1 e que consistiu em aproximar o expoente de Lyapunov verdadeiro,
ou temperado, pelo expoente recozido, comutando a ordem em que as operações de média e
de logaritmo são efetuadas:
λ = lim
t → ∞
1
2t
ln ξ (t;x0, ξ 0) 2
lim
t → ∞
1
2t
ln
ξ (t;x0, ξ 0) 2
(7.2)
O Método Estocástico é construído baseado no expoente recozido, portanto os resultados
obtidos com a teoria são referentes ao expoente λ ⋆ , que não é o expoente de Lyapunov
verdadeiro λ. Embora exista uma relação formal entre ambos, é mais seguro aqui interpre-
tarmos o expoente λ ⋆ não como uma aproximação de λ, mas como uma generalização. Desta
forma, deixamos de questionar a validade da aproximação (7.2) e passamos interpretá-la no
sentido prático: para os sistemas que apresentam valores próximos para os expoentes λ e
λ ⋆ , o Método Estocástico é capaz de fornecer uma estimativa para o expoente de Lyapunov
verdadeiro. Para o nosso sistema em particular, a proximidade entre os valores de λ e λ ⋆
foi verificada, como observamos na figura 2.5 da seção 2.4. O mesmo resultado se repetiu
para o caso do HMF [2] e do αXY [3] , o que torna o Método Estocástico uma teoria, em
princípio, adequada para estimar o expoente de Lyapunov λ para estes três sistemas.
Conforme discutido nas seções 3.7 e 3.8, a base que expande a média da matriz densidade
é composta por seis matrizes. Como resultado, o Método Estocástico associa o expoente de
Lyapunov máximo com os autovalores de uma matriz 6 × 6 (ver Eq (3.56)). Esta descrição
em termos de seis matrizes é possível devido à isotropia de nosso sistema, que nos permite
expressar médias envolvendo a hessiana, presentes em matrizes originalmente com 6N × 6N
elementos, como mostradas no par de equações (3.48). Na seção 3.9, discutimos a apro-
ximação isotrópica que consiste em restringir à metade a dimensão da base e que nos per-
mite obter λ em função dos autovalores da matriz 3 × 3 apresentada na equação (3.58).
Como comentamos na introdução, inicialmente suspeitávamos que para um sistema intera-
gindo com um potencial do tipo Lennard–Jones, a aproximação isotrópica poderia ser muito
forte, resultado que nos obrigaria a buscar uma base maior. Contudo, como demonstrado no
apêndice A, o erro cometido ao passarmos de uma descrição em termos de uma matriz 6 × 6
para uma 3×3 é da ordem de 1/N, o qual não justifica a diferença observada nos resultados
finais para o expoente de Lyapunov.