Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 25
como:
V =
⎛
∂ 2 U
∂q 2 1
⎜ ∂
⎜
⎝
2U ∂q2∂q1
∂ 2U ∂q3∂q1
.
∂ 2U ∂ 2 U
∂q1∂q2
∂ 2 U
∂q 2 2
∂ 2 U
∂q3∂q2
.
∂ 2 U
∂ 2 U
∂q1∂q3
∂ 2U ∂q2∂q3
∂ 2 U
∂q 2 3
.
∂ 2 U
· · ·
· · ·
· · ·
.. .
· · ·
∂ 2 U
∂q1∂q3N
∂ 2 U
∂q2∂q3N
∂ 2 U
∂q3∂q3N
.
∂ 2 U
∂q3N∂q1 ∂q3N∂q2 ∂q3N∂q3 ∂q2
3N×3N Elementos
3N
onde Vqiqj são matrizes 3 × 3 definidas por:
Vqiqj = ∂ 2 U
∂ ri ∂ rj
⎞
⎟
⎠
=
⎛
VqNq1VqNq2 · · · VqNqN
⎞
Vq1q1
Vq1q2 · · · Vq1qN
⎜
⎟
⎜Vq2q1
Vq2q2 ⎜
· · · ⎟ Vq2qN ⎟
⎜ ..
⎟ (3.26)
⎝ . . . . ⎟
⎠
N×N Matrizes
Concluímos, então, que o cálculo da média da matriz maior V, resume-se ao cálculo da
média das matrizes menores Vqiqj. Notemos que a matriz maior é simétrica com relação
as matrizes menores, uma vez que Vqiqj = Vqjqi, embora estas matrizes menores não se-
jam necessariamente simétricas, com exceção das pertencentes à diagonal . Observando a
equação (3.25), vemos que também é necessário avaliarmos a covariância, isto é, a média do
produto de hessianas em dois tempos distintos:
δV (t)δV (t − τ) = V (t)V (t − τ) − V (t) V (t − τ)
(3.27)
O produto das médias, termo mais à direita na equação acima, é uma matriz 3N × 3N que
também pode ser escrita em termos de matrizes menores 3 × 3. Estas matrizes menores
escrevem-se:
V (t) V (t − τ)
qiqj
=
N
Vqiqk (t)Vqkqj(t − τ)
k =1
(3.28)
Situação semelhante ocorre com a média do produto, onde as matrizes menores 3×3 possuem
a seguinte estrutura:
V (t)V (t − τ)
qiqj
=
N
Vqiqk (t)Vqkqj(t − τ)
k = 1
(3.29)
Nos referiremos às matrizes menores Vqiqj com i = j como pertencentes à diagonal da matriz maior V.
Embora apenas os elementos da diagonal de Vqiqi estejam verdadeiramente na diagonal de V.