Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

5. Dinâmica Molecular: Teoria 49
5.4.1 Escolha do passo δt
A escolha do tamanho do passo δt de integração das equações do movimento é baseada
na conservação da energia total. Cada algoritmo possui suas particularidades no tocante à
conservação da energia no decorrer da simulação, mas, normalmente, quanto menor o δt ,
melhor serão os resultados, isto é, menores serão as flutuações. Um passo muito grande pode
até mesmo resultar num deslocamento secular da energia total.
Tratando os átomos do sistema como esferas rígidas com diâmetro igual ao parâmetro
de Lennard–Jones σ (ver tabela 4.1), podemos estimar o intervalo de tempo médio τ entre
colisões sucessivas usando :
τ =
1
√ 2 π d 2 ρ 0 vrms
(5.8)
onde d é o diâmetro, ρ 0 é a densidade numérica e vrms a velocidade quadrática média que,
para o caso de uma distribuição maxwelliana de velocidades, a saber:
m
P (v, T) = 4π
2πκBT
3/2
v 2 e −
m v 2
2κBT (5.9)
só depende da temperatura: vrms = 3κBT/m . Se usarmos o parâmetro d e a massa m
referentes ao Ar (dAr = σAr = 3.40 ×10 −10 m e mAr = 6.63 ×10 −26 Kg ), a densidade
ρ 0 = 1.27×10 28 /m 3 e a temperatura T = 179K , obtemos:
τ ≈ 4.6 × 10 −13 s
Um nível de conservação da energia aceitável para o Ar sob tais condições é obtido com
passos de 10 −14 s, ou seja, uma ordem de grandeza menor que a estimativa para o tempo
médio entre colisões sucessivas (resultado fisicamente razoável, ver [37] ).
O cálculo que acabamos de realizar foi feito em unidades físicas que, conforme discutido
no apêndice E, não são convenientes em simulações computacionais; por isso, trabalharemos
com unidades reduzidas. Por exemplo, para o caso do Ar, ρ 0 = 1.27 ×10 28 /m 3 corresponde
à ρ ∗ 0 = 0.50 em unidades reduzidas e T = 179.7K à T ∗ = 1.50 (ver tabela E.2 para uma
comparação entre unidades físicas e reduzidas de diversas grandezas para o Ar e Ne ).
O tamanho do passo utilizado em nossas simulações foi δt ∗ = 0.001 que, continuando
com o exemplo do Ar, corresponde à δt = 2.16 × 10 −15 s. Isso significa que uma simulação
com um milhão de passos, duração típica das simulações aqui realizadas, corresponde a uma
evolução real do sistema da ordem de 10 −9 s = 1ns.
Para uma dedução intuitiva desta expressão ver Nussenzveig [51], Pág. 256, para uma mais rigorosa, ver
Sone [52], Pág. 551.