Bodengewölbe unter ruhender und nichtruhender Belastung bei ...

Analytische Berechnungsmodelle 161
der Erdruhedruckbeiwert angenommen werden. Weitergehende Untersuchungen zur trapdoor-Problematik
und zur Festlegung von K sind in Handy (1985) zu finden. Eine Übersicht
über die wichtigsten analytischen Ansätze gibt Tabelle 8.1.
Tabelle 8.1:
Übersicht über Ansätze zur Festlegung von K beim trap-door-Problem
Terzaghi (1943) Jáky (1944) Kryne (1945) Handy (1985)
K = 1 K = K0 = 1−sin ϕ '
K
2
1−
sin ϕ '
2
2 2
= K = 1, 06 ⋅ ⎡cos ( θ ) + K a
⋅sin ( θ ) ⎤
1 + sin ϕ '
⎣
⎦
mit: θ = 45 °+ ϕ '/ 2
2
= tan 45 °− ϕ '/ 2
Ka
( )
Der Gewölbeansatz nach Russel et al. (1997) kann für kreisförmige Tragelemente erweitert
werden. Der hierfür angenommene Bruchkörper ist in Bild 8.6 dargestellt.
Tragelement
2·r
Falltür
s
τ
σ z dz
dG
σ ⊥
σ z + dσ z
τ (Scherfläche)
Scherflächen
Bild 8.6:
Erweiterung des Ansatzes nach Russel et al. (1997) für kreisförmige Tragglieder
Gleichgewicht am freigeschnittenen Teilsystem führt zu Gleichung (8.9):
dσ z 2 ⋅π ⋅r
⋅τ
= γ −
dz s r
2 2
( −π
⋅ )
(8.9)
Mit τ = σ
⊥
⋅ tan ϕ ' + c ' und σ
⊥
= K ⋅ σ z
ergibt sich:
dσ z 2⋅π ⋅r⋅K ⋅σ ⋅tan ϕ' 2 ⋅π
⋅r⋅c'
= γ − −
dz s r s r
z
2 2 2 2
( −π
⋅ ) ( −π
⋅ )
(8.10)
Gleichung (8.10) stellt eine lineare inhomogene DGL der Form y′ + px ( ) ⋅ y= gx ( ) mit dem
2 ⋅π
⋅r⋅c'
Störglied gx ( ) = γ −
dar. Nach Bestimmung der homogenen und der speziellen
2 2
( s −π
⋅r
)
Lösung der DGL ergibt sich Gleichung (8.11):