Bodengewölbe unter ruhender und nichtruhender Belastung bei ...

Analytische Berechnungsmodelle 165
Mit τ = σ
x
⋅ μ( z)
+ c und σ
x
= σ
y
= K ⋅ σ z
ergibt sich:
τ = K ⋅σ ⋅ μ( z)
+ c
(8.19)
z
Der tiefenabhängige Reibungsbeiwert μ ( z ) ermittelt sich nach Gleichung (8.20):
z
μ( z ) = tanϕ ⋅ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ h ⎠
(8.20)
Einsetzen von Gleichung (8.19) und (8.20) in Gleichung (8.18) ergibt:
dσ
z 4 ⋅b⋅K ⋅σ
⎛ z ⎞ 4 ⋅ b⋅
c'
= γ − ⋅tan
ϕ'
⋅ −
dz s −b ⎝ h ⎠ s −b
z
2 2 ⎜ ⎟ 2 2
( ) ( )
(8.21)
Gleichung (8.21) stellt eine lineare inhomogene DGL der Form y′ + p( x) ⋅ y = g( x)
dar mit
4 ⋅b⋅c'
dem Störglied gx ( ) = γ − . Die zur Lösung der Unbekannten erforderliche Randbedingung
lautet σ z = p (Auflast gleichmäßig verteilt) für z = 0 .
2 2
( s − b )
Für die Differentialgleichung existiert kein geschlossener Ausdruck, eine Berechnung ist jedoch
mit Hilfe von Computeralgebra-Systemen, wie z.B. Mathematica oder Maple, möglich.
Mathematica bietet als Lösung eine Reformulierung unter Verwendung einer sogenannten
„Fehlerfunktion (Erf)“ an, siehe Gleichung (8.22).
2⋅⋅ bK⋅tan ϕ' 2 2⋅⋅ bK⋅tan ϕ'
2
− ⋅z
− ⋅z
2 2 2 2
h⋅( s −b ) h⋅( s −b
) π 2 2
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅( − ) ⋅
σ z e p e h b s
2
3 2
( γ
)
4 ⋅b ⋅ c' + −4 ⋅b⋅c' ⋅s 2⋅b⋅K
⋅tan ϕ '
⋅ ⋅Erf
⋅z
⋅ b⋅K ⋅ ϕ
h⋅ b − s
2 2
2 tan ' ( )
(8.22)
Durch Einsetzen konkreter Integrationsgrenzen kann eine numerische Lösung erhalten werden.
Bild 8.10 zeigt einen Vergleich der analytisch nach Russel et al. (1997) sowie nach Variante I
und Variante II ermittelten Lastumlagerungswerte E mit Modellversuchsergebnissen. Ebenso
sind in Bild 8.10 die analytischen Ergebnisse nach Zaeske (2001) sowie die mit Hilfe des
Gewölbereduktionsfaktors nach Abschnitt 8.2.2 berechneten Lastumlagerungswerte dargestellt.
Verglichen werden verschiedene Lastamplituden σ c = ± 5 / ± 10 und ± 20 kN/m 2 zum
Zeitpunkt des Maximalspannungsdurchgangs (σ m + σ c ). Die in den Berechnungsgleichungen
angesetzten Auflastspannungen betragen somit p = 17 / 27 und 47 kN/m 2 .