Bodengewölbe unter ruhender und nichtruhender Belastung bei ...

Anhang A
A1
A
Analytische Gewölbemodelle
A.1 2D-Gewölbemodell nach Terzaghi (1936 / 1943) und 3D-Erweiterung
nach Russel et al. (1997)
Bild A.1 zeigt das auf Falltürversuchen (trap-door-Modell) basierende Gewölbemodell nach
Terzaghi (1936). Über einem unendlich langen Hohlraum ist eine bewegliche Bodenplatte
angeordnet. Befindet sich die Bodenplatte in ihrer ursprüngliche Lage, so sind die vertikalen
Spannungen auf Höhe der Platte überall gleich groß. Sinkt die Platte nach unten, nimmt die
Auflastspannung oberhalb der Platte schlagartig ab, während der Druck auf die seitlichen Bereiche
der Platte zunimmt. Es bilden sich vertikale Scherflächen aus. Oberhalb befindliche
Auflasten und Eigengewichtslasten werden durch Schubspannungen in die seitlichen, starren
Auflagerbereiche umgeleitet.
p
Boden
γ , ϕ ‘, c‘
τ xz
Falltür
τ xz
z
dz
h
σ x
σ z
dG
σ z + dσ z
dz
s
Hohlraum
Bild A.1: Trap-door-Modell nach Terzaghi (1936)
Gleichgewichtsbildung am geschnittenen Teilsystem führt zu DGL (A.1):
dσ
z
dz
τ
s
xz
= γ −2 ⋅ (A.1)
Die Scherfestigkeit entlang der Scherfuge ist mit Gleichung (A.2) bekannt:
τ = c ' + σ ⋅ tan ϕ'
mit: σ x = σ z ⋅ K
(A.2)
xz
x
Unter Berücksichtigung von Gleichung (A.2) kann die DGL (A.1) für die Randbedingung
σ = p für z = 0 gelöst werden:
z
σ
z
( γ 2 c '
z
) −⋅ 2K⋅tan ϕ' ⋅ −⋅ 2K⋅tan ϕ'
⋅
s ⋅ − ⋅
s ⎡ ⎤
= ⋅ 1 e
s
⎢ − ⎥+ p⋅e
2⋅K
⋅tan ϕ ' ⎣ ⎦
z
s
(A.3)