156 通 識 教 與 學( 一 ) 蝴 蝶 效 應 和 有 效 數 字最 先 正 面 討 論 混 沌 現 象 的 是 於 2008 年 去 世 的 混 沌 學 先 驅 , 美 國 氣象 學 家 羅 倫 斯 (E. Lorenz)。 26 他 在 1963 年 用 「 蝴 蝶 效 應 」 這 引 人 入 勝的 名 詞 來 形 容 混 沌 現 象 : 南 美 洲 一 隻 與 世 無 爭 的 採 花 蝴 蝶 翩 翩 展 翅 , 輕拂 大 氣 , 結 果 可 能 會 引 起 許 多 天 之 後 , 幾 千 公 里 外 的 北 美 洲 發 生 狂 風 暴雨 。 蝴 蝶 效 應 往 往 在 「 非 線 性 」 環 境 出 現 , 詳 情 超 出 本 文 範 圍 , 我 們 在這 裏 只 能 提 出 一 些 概 念 (Davies, 1995; “Nonlinear”, 2008)。簡 單 來 說 , 在 「 非 線 性 現 象 」 裏 ,「 因 」 的 改 變 與 「 果 」 的 應 變不 成 比 例 : 以 因 、 果 作 為 X–Y 座 標 繪 出 的 圖 形 不 是 一 條 直 線 。 顯 然 ,絕 大 多 數 現 象 都 是 「 非 線 性 」 的 ; 但 「 線 性 」 問 題 容 易 用 數 學 處 理 , 許多 非 線 性 問 題 也 可 以 用 攝 動 理 論 , 作 為 線 性 問 題 的 輕 微 修 改 。 這 些 以 線性 問 題 為 出 發 點 的 工 作 可 說 是 過 去 三 百 年 科 學 計 算 的 主 流 。 但 許 多 現 象是 「 根 本 地 」 非 線 性 的 , 不 能 作 為 輕 微 改 變 的 線 性 現 象 來 處 理 , 而 且這 些 現 象 的 涵 蓋 範 圍 極 為 廣 闊 , 不 但 包 括 羅 倫 斯 所 專 長 的 氣 象 學 , 也包 括 本 文 所 討 論 的 經 典 力 學 的 多 體 問 題 。 幸 好 我 們 現 在 可 以 用 超 速 精確 的 電 子 計 算 機 處 理 大 量 個 案 , 但 基 本 非 線 性 現 象 的 詮 釋 仍 要 依 賴 科學 家 的 洞 察 能 力 。我 們 且 討 論 混 沌 現 象 的 特 徵 。 假 如 在 相 空 間 (phase space) 中 兩點 的 距 離 當 初 是 Δ(t 0), 27 而 後 來 是 Δ(t),| Δ(t) | ~ |Δ(t 0) |exp λ (t - t 0); λ > 0 (1)λ 叫 做 「 李 雅 普 諾 夫 指 數 」(Lyapunov exponent)。 28 λ>0 正 是 混26 羅 倫 斯 (1917–2008)。27 相 空 間 是 表 示 {x, y, z, v x, v y, v z} 的 6 維 空 間 。28 我 們 採 用 exp f (t) 代 表 e f (t) , 因 為 f (t) 帶 有 的 上 標 、 下 標 不 易 用 後 者 表 示 。 李 雅 普 諾 夫(Alexandr Mikhailovich Lyapunov,1857–1918), 俄 國 數 學 家 。
彭 金 滿 、 王 永 雄 、 陳 天 機 : 光 天 化 日 下 的 「 不 軌 行 為 」 157沌 現 象 的 標 誌 ,Δ(t) 以 指 數 形 式 躍 增 。 我 們 也 可 以 用 Δ(t 0) 來 代 表 量 度 引起 的 誤 差 ; 開 始 時 這 誤 差 可 能 相 當 輕 微 , 但 在 時 間 t>>t 0+1/λ 便 會 變 大到 不 可 收 拾 的 地 步 。 此 後 的 混 沌 計 算 便 完 全 沒 有 意 義 , 不 做 也 罷 了 。李 雅 普 諾 夫 指 數 在 概 念 上 闡 明 了 混 沌 現 象 , 但 實 際 上 用 途 有 限 ;學 者 往 往 在 完 成 了 混 沌 現 象 的 計 算 後 , 才 有 足 夠 訊 息 找 出 指 數 的 真 相 。我 們 上 面 的 討 論 足 以 指 出 混 沌 的 一 個 重 要 含 義 。 經 典 力 學 裏 的方 程 式 是 一 絲 不 苟 、「 決 定 性 的 」; 雖 然 它 所 描 述 的 未 必 是 我 們 的 宇宙 , 但 我 們 解 答 後 , 理 論 上 可 以 得 到 明 確 、 不 含 糊 、 用 數 字 表 示 的 答案 。 但 由 於 準 確 度 的 喪 失 , 我 們 仍 然 不 能 預 測 長 遠 的 將 來 。 上 節 拉 普拉 斯 「 萬 事 可 以 預 測 」 的 豪 語 , 即 使 只 限 於 三 百 年 前 早 已 成 型 的 「 決定 性 的 」 經 典 力 學 , 恐 怕 也 是 無 法 兌 現 了 !( 二 ) 軌 道 間 的 「 共 振 」 現 象原 來 牛 頓 早 就 懷 疑 「 多 體 問 題 」 本 身 沒 有 簡 明 的 全 面 解 答 , 他 認為 可 能 需 要 神 的 介 入 (Lissauer, 1999)。 就 「 三 體 問 題 」 而 言 , 十 九世 紀 天 文 學 家 和 數 學 家 只 能 解 出 一 些 特 例 ; 他 們 也 猜 出 軌 道 間 會 產 生神 秘 的 「 共 振 」。 我 們 在 以 下 部 分 會 用 「 共 振 」 來 介 紹 太 陽 系 星 體 的混 沌 現 象 (Dutch, 1997; Murray, 1996; “Orbital”, 2008)。兩 顆 行 星 {P i(t), P j(t)} 以 ( 接 近 ) 橢 圓 的 軌 道 繞 日 旋 轉 時 , 假 如運 動 週 期 之 比 是 T i: T j= m : n, 而 m, n 都 是 正 整 數 , 且 不 含 公 因 數 , 則nT i= mT j, 而 且 在 時 間t = t 0+ knT i= t 0+ kmT j, 當 中 k 是 任 何 正 整 數 。行 星 P i剛 好 轉 了 kn 次 , 行 星 P j剛 好 轉 了 km 次 ,{P i(t), P j(t)} 間 的 相 對 狀態 與 {P i(t 0), P j(t 0)}( 大 致 ) 一 樣 ; 行 星 {P i, P j} 的 距 離 ( 大 致 ) 與 時 距kmT j= knT i之 前 相 同 , 行 星 間 互 相 的 吸 力 也 ( 大 致 ) 一 樣 。 這 種 週 期
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