Quels apports hydrologiques pour les modèles hydrauliques? Vers ...

104 Chapitre 4. Stratégie de calage et de comparaison des modèles couplésévalue le ratio entre l’amplitude d’un signal d’entrée de fréquence w et celle de la sortie du modèle.Dans le cas d’un transfert amont-aval sans apports latéraux avec le modèle d’Hayami (1951), le gains’exprime de la manière suivante (Malaterre, 1995).(G(x, w) =∣ exp C − √ C 2 + 4D i w ∣∣∣∣x)∣(4.4)2 Dtel-00392240, version 1 - 5 Jun 2009avec i = √ −1, C(m/s) la célérité, D (m 2 /s) la diffusion, x (m) l’abscisse à laquelle est évalué legain. Cette expression est obtenue en appliquant une transformée de Laplace 1 sur l’équation 3.3 (cf.page 70) qui caractérise le modèle d’Hayami. La figure 4.8 donne un exemple de diagramme portantla fréquence en abscisse et le gain G en ordonnée pour un modèle d’Hayami appliqué sur un tronçonde 100 km avec C =1 m/s et D =5 000 m 2 /s. Sur la figure, le gain est exprimé en décibel 2 , unitéclassiquement utilisée en traitement du signal.On constate que la propagation n’atténue pas les basses fréquences avec un gain proche de 0 dBet filtre les hautes fréquences avec un gain tendant vers −∞. Le modèle d’Hayami peut donc êtrecaractérisé de filtre “passe-bas”.Pour résumer ces propriétés, il est utile d’évaluer la fréquence de coupure qui délimite la plagedes fréquences peu filtrées encore appelée bande passante. En reprenant une approche courante entraitement du signal, cette fréquence correspond à un seuil d’atténuation de -3 dB qui correspond àune division par 2 de l’amplitude (Malaterre, 1995). Le modèle d’Hayami précédemment cité possèdeainsi une fréquence de coupure à 0.27 10 −4 rad/s soit une période 3 de 64 heures environ. Tout signalde période inférieure à 64 heures subira donc une atténuation au cours de la propagation.Une démarche identique peut être appliquée sur le modèle hydraulique simplifié donné par l’équation 3.9(cf. page 72). On cherche alors à déterminer la fréquence de coupure associée à une configurationde modèle donnée. Cette fréquence va dépendre des paramètres C et D, de la longueur du tronçon,de la nature et de l’emplacement des injections latérales.Afin d’obtenir la fréquence de coupure, il est nécessaire de calculer le gain G(w). Pour cela, onapplique une transformée de Laplace sur l’équation 3.9. En préalable, on notera que la fonction Φ jmentionnée dans l’équation 3.9 possède la transformée suivante.( ∫ tL(Φ j ) = L C0=C L(IU j )α j − α j−1 p)q j (t) − q j (0) dtavec q j (m 2 /s) le débit linéaire correspondant à l’apport j injecté entres les abscisses α j−1 et α j , Cla célérité (m/s) et IU j (m 3 /s) le débit d’apport égal à (α j−1 − α j ) q j .1 La transformée de Laplace d’une fonction f est une fonction notée L(f) qui associe au nombre complexe p lavaleur suivante :L(f)(p) =∫ +∞0e −p t f(t) dt2 G dB = 20 log 10(G)3 T = 2π/w avec T la période et w la fréquence