Quels apports hydrologiques pour les modèles hydrauliques? Vers ...

266 Annexe D. Approximation de la courbe des surfaces drainéesL’équation D.3 peut être résolue comme une régression linéaire classique, ce qui permet d’obtenir lesvaleurs optimales ( SP ˆ i ) i=1..P et ( SU ˆ j ) j=1..U au sens des moindres carrés. Ces valeurs sont donnéespar la formule suivante :⎡⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎤SP ˆ 1.⎛⎡SP ˆP= (M T M) −1 M T ⎜⎢SU ˆ 1⎝⎣. ⎥⎦SU ˆ U−1Σ 1.Σ N⎤ ⎞⎥⎦ − V ⎟⎠(D.4)D.4 Calcul des surfaces SP i sans apport uniformément répartitel-00392240, version 1 - 5 Jun 2009Dans ce cas, on suppose que U = 0. De la même manière que précédemment, on peut éliminer S Pfixée à Σ N − Σ 1 − ∑ P −1i=1 SP i. Le nombre d’inconnue se réduit donc à P − 1.On pose :k ∗∗ = max {k/x k < λ 1 }k ∗ = max {k/x k < λ P }En utilisant ces deux indices, la courbe des surfaces drainées approchée s’écrit :⎧Σ 1si k ≤ k ⎪⎨∗∗ˆΣ k = Σ 1 + ∑ I ki=1SP i si k ∈ ]k ∗∗ , k ∗ ]⎪⎩sinonΣ NOn voit que seuls les points (x k , Σ k ) k∈]k ∗∗ ,k ∗ ] sont conservés dans le système qui se réduit à :⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ˆΣ k ∗∗ +1 Σ 1SP 1⎢⎣ .⎥⎦ = ⎢⎣ .⎥⎦ + M × ⎢⎣ .⎥⎦(D.5)ˆΣ k ∗ Σ 1 SP P −1La matrice M possède alors k ∗ − k ∗∗ lignes. La l ième ligne de cette matrice vaut :⎡⎤P-1 termes{ }} {M(l, . . .) = ⎢⎣ 1 . . . 1 0 . . . 0 ⎥⎦} {{ }I l+k ∗∗ termesLa résolution finale est analogue à l’équation D.4.D.5 Le problème des surfaces d’apport négativesDans la résolution des équations D.3 et D.5, aucune condition n’a été imposée sur les ( ˆ SP i ) i=1..Pet ( ˆ SU j ) j=1..U , il est donc possible d’obtenir des valeurs négatives. De telles valeurs ne sont pasacceptables, il faut donc les corriger.