Quels apports hydrologiques pour les modèles hydrauliques? Vers ...

Chapitre 3. Choix des modèles hydrologique et hydraulique 71débit initial sur le bief et K hay (x, t) le noyau de convolution d’Hayami. Ce noyau a pour expression :xK hay (x, t, C, D) =2 t √ (x−C t)23/2 e− 4 D t (3.4)πDLe modèle décrit par l’équation 3.3 permet de calculer le débit en tout x. Notons que ce modèle nefait pas intervenir de pas d’espace. Pour simplifier les notations dans la suite de ce paragraphe, nousreprenons celles de Moussa (1996) qui écrit l’équation 3.3 de la manière suivante :O(x, t) = I(t) ∗ K hay (x, t, C, D) (3.5)avec O(x, t) = Q(x, t) − Q(x, 0) et I(t) = Q(0, t) − Q(0, 0) et ∗ le produit de convolution.tel-00392240, version 1 - 5 Jun 2009Contrainte n°2 : Injection des apports latéraux sous forme ponctuelle et répartieLe modèle simplifié doit également accepter deux formes d’apports latéraux pour reproduire touteles possibilités de couplage offertes par les logiciels d’hydraulique (cf. paragraphe 1.3.2) : apportsponctuels et uniformément répartis. Si les apports ponctuels sont couramment pris en compte dans lesmodèles simplifiés, les apports répartis le sont plus rarement. Les schémas de propagation discrétisés(Muskingum-Cunge et cascade de Nash) cités précédemment ne le permettent pas, par exemple.Certains auteurs ont proposé des extensions du modèle de Muskingum pour prendre en compte lesapports latéraux ponctuels (O’Donnell, 1985; Khan, 1993). Le problème des débits négatifs généréspar ce modèle en début de simulation nous ont conduits à préférer d’autres schémas de propagationcomme expliqué dans l’annexe C. De plus, les travaux mentionnés précédemment ne parlent quedes apports latéraux ponctuels et non des apports répartis. En définitive, très peu de publicationsabordent la question.• Hayami (1951) évoque une extension de son modèle permettant de prendre en compte lesapports répartis. Cette extension a ensuite été formalisée de manière plus précise par Moussa(1996). En tenant compte des apports latéraux, l’équation 1.4 devient :( ) (∂Q ∂Q∂ 2∂t + C ∂x − q Q− D∂x 2 − ∂q )= 0 (3.6)∂xoù q = q(x, t) est le débit linéaire d’apport latéral (m 2 /s). Si cet apport est uniformémentréparti sur toute la longueur du tronçon, q ne dépend que de t et Moussa (1996) propose alorsune solution analytique de l’équation 3.6 :O(t) = I(t) ∗ K hay + Φ(t) − Φ(t) ∗ K hay (3.7)Φ(t) = C∫ t0q(t) − q(0) dt (3.8)avec les mêmes notations que pour l’équation 3.5.• Moramarco et al. (1999) proposent une solution analytique pour la même configuration baséesur une linéarisation du système complet de Saint-Venant.• Fan et Li (2006) ont étendu cette approche au cas général d’un apport latéral ponctuel ou répartisur une zone quelconque du bief. Les solutions de Fan et Li (2006) constituent une avancéeimportante par rapport à celle de Moussa (1996) puisqu’elles permettent d’intégrer toute lacomplexité des apports latéraux en conservant une forme analytique.