Quels apports hydrologiques pour les modèles hydrauliques? Vers ...

256 Annexe C. Les débits négatifs dans le modèle de Muskinguml’équation C.3 devient alors :A(x, y) =n Q√S0 R(x, y) 2/3(C.4)tel-00392240, version 1 - 5 Jun 2009Le volume V stocké dans le bief à un instant t peut alors être calculé en rajoutant trois hypothèses :• les caractéristiques géométriques sont supposées constantes le long du bief avec n(x) = n,S 0 (x) = S 0 et R(x, y) = R(y) ;• le débit et la hauteur varient peu autour du régime permanent. L’équation C.1 donne en régimepermanent 0 = I p −O p avec I p et O p les débits amont et aval dans ce régime. Nous noterons dansla suite Q p le débit en régime permanent constant sur le bief. D’après l’hypothèse précédenteet l’équation C.4, la relation entre la surface mouillée et le débit est univoque i.e. A(x, y) =A(Q). Dans l’hypothèse des faibles variations autour du régime permanent, on peut alors écrireA(Q) = A(Q p + q) = A(Q p ) + q ∂A∂Q | Q pavec q la perturbation (m 3 /s).• la surface mouillée est supposée constante tout au long du bief et égal à une combinaisonlinéaire des surfaces mouillées aux deux extrémités : A = χ A I + (1 − χ) A O avec χ le facteurde pondération. Nous trouvons donc la justification de χ ∈ [0, 1].A IχSurfacemouilléeéquivalenteA OFig. C.2 : Hypothèse sur la surface mouillée utilisée pour calculer le volume stocké dans le biefOn obtient alors :V == L∫ L0[χA(x, y)dx = χ L A I + (1 − χ) L A 0(A(Q p ) + i ∂A )∂Q | Q p+ (1 − χ)(A(Q p ) + o ∂A∂Q | Q p)](C.5)avec L la longueur du bief, i et o les perturbations sur le débit amont et aval respectivement. Enposant V = V p + v avec V p le volume en régime permanent et v la perturbation et en remarquantque V p = L A(Q p ), l’équation C.5 devient :On aboutit alors à l’équation C.2 avec :v = L ∂A∂Q | Q p[χ i + (1 − χ) o ]κ = L ∂A∂Q | Q p