Quels apports hydrologiques pour les modèles hydrauliques? Vers ...

Annexe C. Les débits négatifs dans le modèle de Muskingum 257Le modèle de Muskingum repose donc sur trois éléments fondamentaux :• l’hypothèse de l’onde cinématique,• l’introduction d’une surface mouillée constante égale à une combinaison linéaire des surfacesaux deux extrémités,• la linéarisation autour du régime permanent.C.2 Analyse du modèle de Muskingum par une approche fréquentielleNous proposons dans ce paragraphe une analyse du modèle de Muskingum à l’aide de la transforméede Laplace qui permet de caractériser sa fonction de transfert dans le domaine fréquentiel. Cetteapproche est couramment utilisée pour étudier les sytèmes linéaires en automatique (Flaus, 1994).En rassemblant les équations C.1 et C.2 et en supposant que les paramètres κ et χ ne varient pasdans le temps, on obtient l’équation différentielle suivante :tel-00392240, version 1 - 5 Jun 2009κ(1 − χ) ∂O∂t + O = −κχ∂I ∂t + IEn transferant maintenant cette équation dans l’espace de Laplace comme on le fait classiquementpour résoudre l’équation de l’onde diffusante à coefficients constants (Moussa et Bocquillon, 1996),on obtient alors(κ (1 − χ) p + 1)L(O) = (−κ χ p + 1)L(I)avec p la variable de Laplace et L(.) l’opérateur de transformée de Laplace. Le modèle de Muskingumprésente donc la fonction de transfert suivante :F musk (p) =1 − κ χ p1 + κ (1 − χ) p(C.6)1Nous remarquons d’abord que cette fonction est stable tant queκ(1−χ)>= 0 afin que le dénominateurprésente une racine à partie réelle négative (Flaus, 1994). Si χ = 0 pour obtenir la stabilité de F musk . Nous neretrouvons pas ici le domaine de définition de χ indiqué par Brutsaert (2005) avec χ < 1/2 qui estsouvent évoqué pour caractériser la stabilité du modèle. Ce point sera abordé dans le paragraphesuivant.Ensuite, F musk présente un zéro réel strictement positif (p = 1κχ). Elle décrit donc un système àréponse inverse selon une terminologie proposée par Flaus (1994). Plus précisément, cette fonctionest la somme de deux fonctions de transfert agissant en sens opposé :F musk (p) = F 1 (p) + F 2 (p) =11 + κ (1 − χ) p − κ χ p1 + κ (1 − χ) p(C.7)Cette caractéristique est gênante car le système peut alors commencer par fournir une réponseopposée à l’entrée dans certains cas comme nous l’avons constaté sur la figure C.1. Par exemple, la