Quels apports hydrologiques pour les modèles hydrauliques? Vers ...

Annexe D. Approximation de la courbe des surfaces drainées 267La correction proposée se déroule en deux étapes :1. les valeurs SP ˆ i et SU ˆ j sont d’abord minorées à 0 ;2. elles sont ensuite multipliées par le facteur C suivant :C =∑ Pi=1Σ N − Σ 1SP ˆ i + ∑ USU jj=1 ˆCette multiplication permet de garantir que la somme des apports est bien égale à la surfacetotale du bassin intermédiaire (Σ N − Σ 1 ).tel-00392240, version 1 - 5 Jun 2009La correction modifie les surfaces d’apport qui ne constituent plus une solution optimale des équationsD.3 et D.5 au sens des moindres carrés. Les tests menés sur les 50 tronçons de l’échantillon ont montréque cette correction avait peu d’influence sur le résultat final tant que la méthode de recherche des(α j ) j=0..U est suffisamment précise (cf. étape 2 dans le paragraphe D.2).La méthode a été appliquée sur les 50 tronçons de l’échantillon avec et sans correction, en faisantvarier le nombre d’apports ponctuels et répartis entre 0 et 6 soit 35 configurations possibles (le casP = 0 et U = 0 est exclu). Pour chaque tronçon et chaque configuration, on évalue l’écart entrela courbe réelle (x k , Σ k ) et la courbe approchée à l’aide de l’erreur relative moyenne e Σ donnée parl’équation suivante :e Σ = 1 NN∑k=1|ˆΣ k − Σ k |Σ k(D.6)On peut ensuite comparer l’erreur obtenue lorsque l’on applique la méthode sans correction, notéee Σ (ini), et celle obtenue avec correction, notée e Σ (corr). La figure D.2 présente la distribution de ladifférence e Σ (corr) − e Σ (ini) sur les 50 tronçons et les 35 configurations soit 1750 valeurs au total.On constate que l’erreur e Σ (corr) est strictement égale à l’erreur initiale dans une large majorité decas avec une distribution de e Σ (corr) − e Σ (ini) concentrée autour de 0. Dans tous les cas, cettedifférence reste inférieure à +0.04, la correction n’augmente donc pas l’erreur commise sur la courbeapprochée de plus de 4% en moyenne.Dans quelques rares cas, l’erreur après correction peut même s’avérer plus faible (e Σ (corr) −e Σ (ini) < 0) ce qui est surprenant puisque la méthode sans correction est supposée donner lameilleure approximation de la courbe (x k , Σ k ) au sens des moindres carrés. Dans la pratique, lamatrice M T M utilisée dans l’équation D.4 est parfois mal conditionnée et son inversion introduitdes instabilités numériques. Dans ce cas, la correction permet de les atténuer.Ainsi, la correction n’a qu’un faible impact sur l’erreur relative moyenne et donc sur l’aspect final dela courbe des surfaces drainées approchée.D.6 Exemple d’application sur le LignonDans l’exemple du Lignon présenté sur la figure D.1, le tronçon mesure 35.1 km et la courbe dessurfaces drainées extraite du MNT comporte 403 points. En retenant 2 apports ponctuels (P = 2)