Quels apports hydrologiques pour les modèles hydrauliques? Vers ...

Annexe D. Approximation de la courbe des surfaces drainées 265On identifie également l’indice k ∗ = max {k/x k < α U−1 }. k ∗ est l’indice du dernier point appartenantau tronçon délimité par [α U−2 , α U−1 ].En utilisant les indices I k et J k , la courbe des surfaces drainées approchée ˆΣ k au point d’abscissex k s’écrit :ˆΣ k = ∆+I k ∑i=1J k∑SP i + SU j + x k − α JkSU Jk +1α Jk +1 − α Jkj=1(App. Ponct.) (App. Unif.) (Dernier App. Unif.)où ∆ est un terme correctif qui prend les valeurs suivantes.⎧⎨Σ 1 si k ≤ k ∗ ,∆ =⎩Σ 1 + x k−α U−1α U −α U−1SU U sinon.L’équation D.1 permet de simplifier l’écriture de ∆ quand k > k ∗ :(D.2)tel-00392240, version 1 - 5 Jun 2009∆ = Σ 1 + x k − α U−1α U − α U−1SU U⎛= Σ 1 + x k − α U−1⎝Σ N − Σ 1 −L − α U−1P∑i=1⎞U−1∑SP i − SU j⎠En écrivant l’équation D.2 sous forme matricielle pour les N points (x k , Σ k ), on obtient :⎡ ⎤SP 1⎡ ⎤.ˆΣ 1⎢⎣ .⎥⎦ = V + M × SP PSU 1ˆΣ N⎢⎣ . ⎥⎦SU U−1Avec V le vecteur tel que :⎧⎨Σ 1si k < k ∗V (k) =⎩Σ 1 + x k−α U−1L−α U−1(Σ N − Σ 1 ) sinonM est la matrice dans laquelle la k ième ligne est donnée par les expressions suivantes :• Si k ≤ k ∗ ,⎡⎤P termesU-1 termes{ }} { { }} {xM(k, . . .) = ⎢k −α Jk⎣ 1 . . . 1 0 . . . 0 | 1 . . . 1 α} {{ }} {{ }Jk +1−α Jk0 . . . 0 ⎥⎦I k termesJ k termes• Si k > k ∗ , on pose ρ k = x k−α U−1L−α U−1⎡P termes{ }} {M(k, . . .) = ⎢⎣ 1 − ρ k . . . 1 − ρ k −ρ k . . . −ρ k |} {{ }i k termesj=1⎤U-1 termes1 − ρ k . . . 1 − ρ k⎥{ }} {⎦(D.3)