Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
10.09.2013
2. Tag – Mengenlehre & Aussagenlogik
2. Tag – Mengenlehre & Aussagenlogik
1. Übung: Mengenlehre & Aussagenlogik I – Aufgaben
1.) Schreiben Sie die folgenden Mengen als Intervall:
a) A = {x ∈ R | 3 ≤ x < 4} b) B = {x ∈ R | 5 ≤ x < 19} ∩ {x ∈ R | 13 ≤ x < 27}
c) C = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 44} d) D = R \{x ∈ R | −33 < x < ∞}
2.) Setzen Sie an Stelle von ⋄ die Zeichen ∈ oder /∈ ein, sodass wahre Aussagen entstehen.
a) 11 ⋄ {1,2,3} b) 1 ⋄ {1,2,3} c) 25 ⋄ {n 2 |n ∈ N}
d) 3 ⋄ N e) 2 ⋄ {x ∈ N|x − 2 = 0} f) 0 ⋄ ∅
g) {0} ⋄ N h) {1} ⋄ {1,2} i) {1,2} ⋄ {∅,{1},{2},{2,3}}
j) ∅ ⋄ Menge der Teilmengen von {mein Auto, mein Fahrrad}
3.) a) Skizzieren Sie die Mengen M 1 = {x ∈ R | x > 5} ; M 2 = {x ∈ R | x ≤ 2} ; M 3 = (0; 10] ; M 4 = [0; 10) ;
M 5 = [−5; 5] und M 6 = (−4; 6) auf dem Zahlenstrahl.
b) Finden Sie für die verbal beschriebenen Mengen M 7 , M 8 und M 9 eine formale Definition.
• M 7 : alle geraden Zahlen • M 8 : alle ungeraden Zahlen • M 9 : alle Brüche
c) Bestimmen Sie
• M 10 = M 1 ∩ M 3 • M 11 = (M 2 ∩ M 1 ) ∪ M 6 • M 12 = M 2 ∪ M 6
• M 13 = (M 4 ∪ M 5 ) ∩ M 7 • M 14 = M 5 ∪ (M 7 ∩ M 12 ) • M 15 = M 9 ∩ M 2
• M 16 = (M 5 ∩ M 6 ) ∪ (M 4 ∩ M 3 ) ∪ (M 10 ∩ M 2 ) ∪ (M 13 ∩ M 14 )
4.) Geben Sie die Mengen jeweils durch ihre Eigenschaften (verbal oder in Termen) in der Form {x ∈ ? | „Eigenschaften“}
an.
a) M 1 = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} b) M 2 = {−3, − 2, − 1, 1, 2, 3}
c) M 3 = {−2, −1, 0, 1, 3, 4, 5, 6} d) M 4 = {64, 4, 8, 1, 32, 128, 2, 16}
e) M 5 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, . . .} f) M 6 = {119, 17, 51, 153, 85, 102, 34, 68, . . .}
g) M 7 = Z \ N h) M 8 = Q \ Z
5.) Zeigen Sie durch Herleitung und Vergleich der entsprechenden Wahrheitstafeln:
a) „¬(A ∨ B)“ bedeutet dasselbe wie „¬A ∧ ¬B“ , bzw. . ( ¬(A ∨ B) ) ⇐⇒ (¬A ∧ ¬B)
b)
(
¬(A ∧ B)
)
⇐⇒ (¬A ∨ ¬B) c) (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A)
d) (A ⇔ B) ⇐⇒ (¬A ⇔ ¬B) e)
(
A ⇒ (A ∨ B)
)
ist immer wahr.
f)
(
¬(¬A ∨ B)
)
⇐⇒ (A ∧ ¬B) g) (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬A ∨ B)
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny