Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
01.10.2013
17. Tag – Kurvendiskussion
2. Übung: Differenzieren III – Aufgaben
2. Übung: Differenzieren III – Aufgaben
1.) Berechnen Sie die erste Ableitung von:
a) f(x) = x 2 + 2x 5 b) f(x) = sin x + cos x c) f(x) = tan x + arctan x
d) f(x) = x 2 · sin x e) f(x) = e 2x + e −x · x f) f(x) = √ 1 − cos 2 x
)
g) f(x) = cos x + 2 x
(x + 5 h) f(x) = arctan 2 + 2x i) f(x) = ln ( sin √ x )
j) f(x) = ln x
x 2 k) f(x) = x −3 · cot x l) f(x) = e√ x
cos x
2.) Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung:
a) f(x) = x 2 · √1
− x 2 b) f(x) =
1 + sin 2x
1 − sin 2x
c) f(x) =
√
4x + 1
d) f(x) = tan x + 2 3 tan3 x + 1 5 tan5 x e) f(t) = √ 1 + cos 2 t 2
3.) Gegeben sei die Kurve y = 1 − e x 2 . Stellen Sie die Gleichung der Tangente im Schnittpunkt der Kurve mit der
y-Achse auf. Zeichnen Sie Kurve, Tangente und die Asymptote der Kurve.
4.) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung:
x
a) f(x) = ln √ b) f(x) = (sin x · cos x) 3
2
1 − x 2
c) f(x) = √ x √ x − 3 d) f(x) = tan 1
x 2
e) f(x) = ln 1 + √ x 2 + 1
x
(
g) Man differenziere: f(x) = cos 2 1 − √ )
x
1 + √ x
Das Endergebnis ist in der Form
Lösungen zu Differenzieren III
sin(2 g(x))
h(x)
1.) a) f(x) = x 2 + 2x 5 =⇒ f ′ (x) = 2x + 10x 4
b) f(x) = sin x + cos x =⇒ f ′ (x) = cos x − sin x
c) f(x) = tan x + arctan x =⇒ f ′ (x) = 1 + tan 2 x + 1
1 + x 2
d) f(x) = x 2 · sin x =⇒ f ′ (x) = 2x · sin x + x 2 · cos x
f) f(x) = ln
(tan (√ x 2 + 1 ))
mit nennerfreiem h(x) anzugeben.
e) f(x) = e 2x + e −x · x =⇒ f ′ (x) = 2e 2x − e −x · x + e −x
f) f(x) = √ 1 − cos 2 x =⇒ f ′ 1
(x) =
2 √ 1 − cos 2 x · (−2
cos x · (− sin x) ) cos x · sin x
= √
1 − cos 2 x
Aber Achtung, diese Ableitung ist für x = kπ; k ∈ Z nicht definiert – bei genauer Betrachtung ergibt sich:
f(x) = |sin x| und es wird klar, dass diese Funktion an den „Knick“-stellen nicht differenzierbar ist. 33
33 Darüber müssen wir uns aber keine Sorgen machen – beim normalen Vorgehen einer Kurvendiskussion prüfen wir die Definitionslücken und evtl.
Knickstellen, bevor wir ableiten. Ansonten sehen wir es wie oben am Definitionsbereich der Ableitung – es fällt also so oder so auf.
x 2
Mathematik Vorkurs P2
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✝137 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny