Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
13.09.2013
5. Tag – Potenzen & Logarithmen
2. Übung: Lineare Un-/Gleichungen II – Aufgaben
2. Übung: Lineare Un-/Gleichungen II – Aufgaben
1.) a) Erstellen Sie eine Übersicht über alle Ihnen bekannten Äquivalenzumformungen, die Sie beim Lösen von
Gleichungen verwenden können.
b) Sofern Ihnen weitere (auch nicht-äquivalente) Umformungen bekannt sind, listen Sie diese bitte ebenfalls auf und
vermerken jeweils, was man bei deren Durchführung beachten muss.
2.) Lösen Sie:
a) 2 − (4 − 2x) = 0 b) x + 2 = 2x − 2 c) 4x − 3 5 = 34
10
d) 11x = −10x + 21 e) − 1 9 x + 2 = 0 f) 4
(2
5 = − − 3 )
+ 1 5 2 x
g)
1
2 x + 7 3 = −1 2 x − 1 3
h) x + 3 = x + 5 i) −5x + 5 = 5x − 5
j)
11
9 + 9 11 x = 1 19
3.) Lösen Sie die folgenden Betrags(un)gleichungen. Notieren Sie sich dabei bitte immer, welche Fälle Sie erhalten und
prüfen Sie die Lösungen entsprechend!
a) |2x − 4| > −1 b) |5 − 2x| < 1 c) |x + 4| = 2 |x − 1|
∣ |1 + x|
∣∣∣
d) |x − 4| = 3x + 5 e)
|3 − x| = 5 f) 2x + 4
x − 3 ∣ = 1
g) |2x − 4| ≥ x + 1 h) |x + 2| + |x + 4| − 12 =
0
j) |x + 1| + |2x + 3| − |x − 4| = 0
i) |5 − x| ≤ 11
Lösungen zu Lineare Un-/Gleichungen II
1.) Äquivalenzumformungen:
• Addition mit beliebigen reellwertigen Termen
• Multiplikation mit beliebigen reellwertigen Termen ungleich Null
(Bei Ungleichungen das Operationszeichen umdrehen!)
• Kehrwert bilden (Wiederum: Achtung bei Ungleichungen; haben beide Seiten das gleiche Vorzeichen, dreht sich
die Relation um; sind die Vorzeichen verschieden, bleibt die Relation.)
• Anwenden von Operationen(Funktionen), die für alle reelen Zahlen definiert und global umkehrbar sind.
Analoges gilt für Operationen, solange beide Gleichungsseiten für die Operation definiert sind, z.B. Wurzelziehen
für positive Terme.
Bei nicht-aquivalenten Umformungen (z.B. Quadrieren eines Terms, dessen Vorzeichen unbekannt ist) muss man am
Ende immer prüfen, ob die berechneten Lösungen auch die Ausgangsgleichung lösen.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny