Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
30.09.2013
16. Tag – Differenzieren
Lösungen zu Differenzieren I & II
f ′ (x) =
1
2 √ −x 4 + 11 · (−4x3 ) =
4.) a) f(x) = 3x 5 − 4x 3 + 1 2 x − 5
−4x 3
2 √ −x 4 + 11
=⇒ D f ′ =
(− 4 √
11;
4√
11
)
.
⇒ f ′ (x) = 15x 4 − 12x 2 + 1 2
⇒
f ′′ (x) = 60x 3 − 24x
b) f(x) = sin x · cos x
⇒
⇒
f ′ (x) = cos x · cos x + sin x · (− sin x) = cos 2 x − sin 2 x
f ′′ (x) = 2 cos x · (− sin x) − 2 sin x · cos x = −4 sin x · cos x
c) f(x) = x2 − 2x + 4
x − 3
(2x − 2) · (x − 3) −
⇒ f ′ (x) =
= x2 − 6x + 2
(x − 3) 2
=
( )
x 2 − 2x + 4 · 1
(x − 3) 2 =
(2x − 6) · (x − 3) 2 −
⇒ f ′′ (x) =
(
)
(x − 3) 4
2x 2 − 12x + 18 −
d) f(x) = cos x · ln x
⇒ f ′ (x) = (− sin x) · ln x + cos x · 1
x
( )
x 2 − 6x + 2 · 2 (x − 3) · 1
(
2x 2 − 12x + 4
(x − 3) 3 = 14
(x − 3) 3
)
= − sin x · ln x +
cos x
x
⇒ f ′′ (x) = − cos x · ln x − sin x · 1 − sin x · x − cos x
x
+
x 2
e) f(x) = e 1 2 x2
⇒
f ′ (x) = e 1 2 x2 · x
⇒ f ′′ (x) = e 1 2 x2 · x · x + e 1 2 x2 · 1 = e 1 2 x2 ·
f) f(x) = x 2 · arctan x
⇒ f ′ (x) = 2x · arctan x + x 2 ·
1
1 + x
⇒ f ′′ (x) = 2 · arctan x + 2x
1 + x 2 + 2x ·
( )
x 2 + 1
x2
= 2x · arctan x +
2 1 + x
) (1 2
+ x 2 − x 2 · 2x
( ) 1 + x 2 2
(
) ( )
2x 2 − 8x + 6 − x 2 − 2x + 4
(x − 3) 2
= − cos · ln x − 2 sin x
x
)
2x ·
(1 + x 2
= 2 arctan x + ( ) + 2x ✟ ✟ +2x 3 ✟ ✟ −2x 3
1 + x 2 2 ( ) 4x + 2x3
= 2 arctan x +
1 + x 2 2
( ) 1 + x 2 2
− cos x
x 2
g) f(x) = sin x
x 3
⇒ f ′ (x) = cos x · x3 − sin x · 3x 2
x 6 =
(
cos x · x − 3 sin x
)
· x
2
x 6
=
cos x · x − 3 sin x
x 4
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝126 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny