Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
20.09.2013
10. Tag – Polynome
Lösungen zu Polynome I
b) T 1 (x) = x ⇒ x 1 = 0
T 2 (x) = 2x 2 − 1 ⇒ x 2 = 1 2 ⇒ x 1/2 = ± √ 1 ≈ ±0,707
2
(
T 3 (x) = 4x 3 − 3x ⇒ 4x x 2 − 3 )
√
3
= 0 ⇒ x 1 = 0 ∧ x 2/3 = ±
4
2 ≈ ±0,866
T 4 (x) = 8x 4 − 8x 2 + 1 ⇒ x 4 − x 2 + 1 8 = 0 x2 =z
⇒ z 2 − z + 1 8 = 0
c) Die Skizze von T 1 (x) , T 2 (x) , T 3 (x) und T 4 (x) :
⇒ z 1/2 = 1 √
1
2 ± 4 − 1 8 = 1 2 ± √ 1 = 1
8 2 ± 1
2 √ 2 = 2 ± √ 2
4
√
2 ± √ 2
⇒ x 1/2/3/4 = ± = ± 1 √
2 ± √ 2
4 2
y
T 3 (x)
1.00
T 4 (x)
0.75
T 1 (x)
0.50
0.25
−1.00
−0.75
−0.50
−0.25
−0.25
0.25 0.50 0.75 1.00
x
−0.50
−0.75
−1.00
T 2 (x)
d) Betrachten wir die vorliegenden Tschebyscheff-Polynome T 1 (x) bis T 8 (x) so sehen wir das bei den geraden
Polynomgraden auch nur gerade Potenzen auftauchen, diese Polynome sind also alle gerade Funktionen. Analoges
gilt für die ungeraden Tschebyschow-Polynome. Für den allgemeinen Beweis 22 betrachten wir noch einmal die
Rekursionsformel: T n+1 (x) = 2x T n (x) − T n−1 (x) .
Ist n nun ungerade, dann nehmen wir an, dass das Polynom T n (x) ein ungerades Polynom ist, also nur ungerade
Potenzen beinhaltet. Ferner ist T n−1 (x) ein gerades Polynom, besteht also nur aus geraden Potenzen.
Das Polynom T n+1 (x) wird nach Rekursionsformel gebildet, indem T n (x) mit 2x multipliziert wird, also aus den
ungeraden Potenzen entstehen gerade Potenzen von denen nun die geraden Potenzen aus T n−1 (x) subtrahiert
werden.
Damit besteht T n+1 (x) nur aus geraden Potenzen und ist somit selbst eine gerade Funktion. – Analog kann man
für gerades n verfahren.
22 Dieser Beweis verwendet vollständige Induktion – wir führen ihn lediglich verbal, es geht aber natürlich auch formal (und ist exakter ☺).
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny