Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
24.09.2013
12. Tag – Trigonometrische Funktionen
Lösungen zu Trigonometrische Funktionen I
cos(β) = −b2 + a 2 + c 2
2ac
cos(γ) = −c2 + a 2 + b 2
2ab
= 117,75
126
= 44,25
63
e) sin ( α + π 4
)
+ sin
(
α −
π
4
)
= sin(α) · cos
( π
4
≈ 0,935 ⇒ β ≈ 20,85 ◦
≈ 0,702 ⇒ γ ≈ 45,38 ◦
)
+ cos(α) · sin
Wegen sin(−x) = − sin(x) und cos(−x) = cos(x) ergibt sich:
( ) √
π 2
= 2 sin(α) · cos = 2 ·
4 2 · sin(α) = √ 2 · sin(α)
f) cos x · sin x = 1 2 (sin x · cos x + cos x · sin x) = 1 2 · sin(x + x) = 1 2 sin(2x)
g) cos(2α) = cos 2 (α) − sin 2 (α) = cos 2 (α) − ( 1 − cos 2 (α) ) = 2 cos 2 (α) − 1
( )
(
π
+ sin(α) · cos − π )
(
+ cos(α) · sin − π )
4 4
4
h) cos(x) = cos(2x) ⇒ cos(x) = 2 cos 2 (x) − 1 ⇒ 2 cos 2 (x) − cos(x) − 1 = 0
√
Mit cos(x) = y ergibt sich: y 2 − 1 2 y − 1 2 = 0 ⇒ y 1,2 = 1 4 ± 1
16 + 1 2 = 1 4 ± 3 4
Aus cos(x) = 1 folgt x = 2k · π ;
k ∈ Z
Aus cos(x) = − 1 2 folgt x = 2 3 π + 2k · π ; k ∈ Z und x = 4 3 π + 2k · π ; k ∈ Z
2.) Eine recht ausführliche Wertetabelle:
x 0
1
8 π 1
6 π 1
4 π 1
3 π 3
8 π 1
2 π 5
8 π 2
sin x 0 0,3827
1
cos x 1 0,9239
√
2
3
2
tan x 0 0,4142
1 √3 1
√
√1
3
2
√1
1
2
3 π 3
4 π 5
6 π 7
√
3 1√ 1
2 2
8 π π
2
0,9239 1 0,9239
2
0,3827 0
2
0,3827 0 −0,3827 − 1 2
− √ 1
√
2
− 3
2
−0,9239 −1
√ √
3 2,4142 / −2,4142 − 3 −1 − √3 1
−0,4142 0
x π
9
8 π 7
6 π 5
4 π 4
3 π 11
8 π 3
2 π 13
8 π 5
sin x 0 −0,3827 − 1 2
− √ 1 √
2
− 3
2
−0,9239 −1 −0,9239 −
√
cos x −1 −0,9239 − 3
2
− √ 1 2
− 1 1
2
−0,3827 0 0,3827
2
3 π 7
4 π 11
6 π 15
√
3
2
− 1
8 π 2π
√
2
− 1 2
−0,3827 0
1√
2
√
3
2
0,9239 1
Mit hinreichendem Wissen bzgl. der Symmetrieeigenschaften genügt die erste Hälfte [ 0, π 2
]
der ersten Tabelle.
3.) a) cos x = 1 2
hat zwei Lösungen im Intervall [0,2π):
x 1 = arccos 1 2 ∨ x 2 = 2π − arccos 1 2
Diese können wir nun periodisch fortsetzen:
⇐⇒
x 1 = π 3 ∨ x 2 = 5 3 π
x = π 3 + 2kπ ∨ x = −π 3
+ 2kπ mit k ∈ Z
√
b) sin x = − 2
2
hat zwei Lösungen im Intervall [0,2π):
( √ )
2
x 1 = arcsin − = − 1 2 4 π = 7 4 π − 2π ∨ x 2 = π − x 1 ⇐⇒ x 1 = − 1 4 π ∨ x 2 = 5 4 π
Diese können wir nun periodisch fortsetzen:
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny