Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
01.10.2013
17. Tag – Kurvendiskussion
Lösungen zu Kurvendiskussion I
• Wendepunkte
!
√
4
3
f ′′ (x) = 0 ↔ 3x 4 − 24x 2 − 16 = 0 ; mit der Substitution z = x 2 und damit z 2 − 8z − 16
3
= 0 erhält man
(
x 5 = 3 + 2 √ )
3 als einzige Nullstelle von f ′′ (x) im Definitionsbereich von f(x) und f ′′ (x) . Durch den
Kurvenverlauf muss hier ein Wendepunkt sein; die Probe ergibt: f ′′′ ( √
4
3
( √ (
4
Wir haben einen Wendepunkt bei
3
3 + 2 √ )
3 , 4 4√ )
3+2 √ √
3
3
≈ (2,97, 3,68)
(
3 + 2 √ 3) ) = 3√ 3
4 4√ 3+2 √ 3 ≠ 0
• Wertebereich
W ( (f(x) ) = R +,0 = [0,∞)
• Skizze
6
5
y
4
3
f(x) = √ x 3 − 4x
•
ÏÈ
2
1
•
ÀÈ
b) f(x) = e 2x 1
; f ′ (x) = − e 2x
1
2x 2 ;
f ′′ (x) = e 2x 1
· (4x + 1)
e 2x 1
·
4x 4 ; f ′′′ (x) = −
• Definitionsbereich
D ( (f(x) ) = R \ {0}
• Symmetrie
0
-1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
(
)
24x 2 + 12x + 1
Durch die (äußere) e-Funktion hat f(x) keine Symmetrieeigenschaften.
• Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse
Wegen e x > 0 ∀ x ∈ R hat f(x) keine Nullstelle.
Aufgrund des Definitionsbereiches hat f(x) auch keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.
• Asymptoten
lim f(x) = lim
x→∞ z → 0 ez = 1 ; „von oben“
z>0
lim f(x) = lim
x→−∞ z → 0 ez = 1 ; „von unten“
z0
lim f(x) = lim
x → 0 z→−∞ ez = 0
x