Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
12.09.2013
4. Tag – Lineare (Un-)Gleichungen
Lösungen zu Lineare Un-/Gleichungen I
Lösungen zu Lineare Un-/Gleichungen I
1.) a) x + 5 = 11
⇔ x = 6
∣ − 5
b) 8 − x = 3
⇔
−x = −5
∣ − 8
∣ · (−1)
c) 4x − 3 = −1
⇔ 4x = 2
∣ + 3
∣ : 4
⇔ x = 5
d) πx + 1 = 7
⇔ πx = 6
∣ − 1
∣ · 1
π
⇔ x = 1 2
e) 2x − 12 = 4
⇔ x − 6 = 2
∣ : 2
∣ + 6
⇔ x = 6 π
f) 7x − 8 = −6
⇔ 7x = 2
∣ + 8
∣ : 7
⇔ x = 8
⇔ x = 2 7
g)
1
∣ ∣∣
2 (x + 2) = 6 · 2
⇔ x + 2 = 12 ∣ − 2
⇔ x = 10
h)
3
∣ ∣∣
2 x − 4 = 11 + 4
3
∣ ∣∣
⇔
2 x = 15 2 ·
3
⇔ x = 10
i) 12 − 4 ∣ ∣∣
3 x = −4 − 12
⇔ − 4 ∣ (
∣∣
3 x = −16 · − 3 )
4
⇔ x = 12
2.) a)
3
2 − 1 6 = 3x − 2 ⇔ 9 − 1 + 2 = 3x ⇔ 10
10
= 3x ⇔ x =
6
3 9
b) Da ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens ein Faktor Null ist, folgt:
Entweder ist 3x − 2 = 0 oder x − 2 = 0 . Damit gilt x = 2 3 ∨ x = 2
c) Mit x ≠ −a und x ≠ −b vorausgesetzt erhalten wir:
a · (x + a) + b · (x + b)
(x + a)(x + b)
3
= −
(x + a)(x + b)
⇒
a · (x + a) + b · (x + b) = −3
⇔ ax + a 2 + bx + b 2 = −3 ⇔ (a + b)x = −3 − a 2 − b 2
Für a + b ≠ 0 erhalten wir: x = − 3 + a2 + b 2
a + b
Für a + b = 0 erhalten wir: 0 = −3 − a 2 − b 2 . Da Quadrate immer positiv sind, ist dies ein Widerspruch
(denn es gilt −3 − a 2 − b 2 < 0) und demzufolge gibt es keine Lösung der Gleichung für a + b = 0 .
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny