Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
12.09.2013
4. Tag – Lineare (Un-)Gleichungen
Lösungen zu Lineare Un-/Gleichungen I
d) −3x − 2 = 2x + 1 ⇒ −3 = 5x ⇒ x = − 3 5
e) |3x − 5| = 2 führt zu einer Fallunterscheidung (wie immer bei Betragsstrichen):
• Der Betragsinhalt ist positiv 3x − 5 ≥ 0 : 3x − 5 = 2 ⇒ 3x = 7 ⇒ x = 7 3
• Der Betragsinhalt ist negativ 3x − 5 < 0 : −(3x − 5) = 2 ⇒ 3x − 5 = −2 ⇒ x = 1
Die Proben durch Einsetzen bestätigen diese Lösungen, d.h. x = 7 3 ∨ x = 1
f) |x + 2| ≤ 5 führt auch zu einer Fallunterscheidung:
• x + 2 ≥ 0 : x + 2 ≤ 5 ⇒ x ≤ 3
• x + 2 < 0 : −(x + 2) ≤ 5 ⇒ x + 2 ≥ −5 ⇒ x ≥ −7
Mit Proben bestätigen wir das Lösungsintervall x ∈ [−7; 3]
g) |3x − 5| = x − 2 führt zur Fallunterscheidung: 6
• 3x − 5 ≥ 0 : 3x − 5 = x − 2 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3 2
=⇒ Probe: 3 · 3
2 − 5 = − 1 2
< 0 zu 3x − 5 ≥ 0
• 3x − 5 < 0 : −(3x − 5) = x − 2 ⇒ 4x = 7 ⇒ x = 7 4
=⇒ Probe: 3 · 7
4
− 5 > 0 zu 3x − 5 < 0
Also gibt es keine Lösung für diese Betragsgleichung.
3.) a)
1
1 − x ist definiert für x ∈ R \{1} : 1
1 − x = 1 ⇔ 1 − x = 1 ⇔ x = 0 .
b)
1
1 − x ist definiert für x ∈ R \{1} : 1
1 − x = 0 |·(1−x)
⇐⇒ 1 = 0 Es gibt keine Lösung. 7
c)
1
1 − x + 1 ist definiert für x ∈ R \{−1,1} :
1 + x
1
1 − x + 1
1 + x = 2 ⇔ 1(1 + x) + 1(1 − x) = 2(1 − x)(1 + x) ⇔ 2 = 2 (
1 2 − x 2)
⇔ 1 = 1 − x 2 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0
d)
x 2 − 2x − 2
x 2 + 3
ist definiert für x ∈ R :
x 2 − 2x − 2
x 2 + 3
= 1 ⇔ x 2 − 2x − 2 = x 2 + 3
⇔ −2x − 5 = 0 ⇔ x = − 5 2
4.) Für |a| ≤ c unterscheiden wir die Fälle:
a ≥ 0 : a ≤ c und a < 0 : −a ≤ c ⇔ a ≥ −c
Wir haben also die Aussagen −c ≤ a und a ≤ c, woraus wir direkt die Ungleichungskette −c ≤ a ≤ c erhalten.
6 Auf der rechten Seite sehen wir direkt, dass x ≥ 2 gelten muss und somit nur der erste Fall eintreten kann!
7 Dies könne wir auch gleich sehen: Ein Bruch kann nur dann Null sein, wenn der Zähler Null ist – mit dem konstanten Zähler 1 wird der gegebene
Bruch niemals Null.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny