Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
16.09.2013
6. Tag – Wurzeln
6. Tag – Wurzeln
1. Übung: Wurzeln I – Aufgaben
1.) a) Vereinfachen Sie:
i)
√
50 −
√
8 +
√
72 ii)
√
64a 2 iii) √ a 4
iv) √ a 6 + a 4 b 2 v)
b) Beseitigen Sie die Wurzel im Nenner:
√
12a 2 + 12a · √3a 3 + 3
5
√
3 −
√
2
c) Formen Sie mit quadratischer Ergänzung um: i) 10x 2 − 2x + 30 ii) − 5 2 x2 + 3x
d) Lösen Sie: i) 3x 2 − 10x + 5 = 0 ii) 3x 2 + 10x = 5 iii) x 2 + 10x = 0
√√
4
1
e) Berechnen Sie: i) 256 ii) 6 · 3125 5 − 3 · 216 1 3 − 4 · 243 1 5
√
a
a 2 a 5 √
8
3 a
f) Schreiben Sie als Potenz von a: i) 3√ ii) √
a
3
a −2 a 8 5
√ √ √
g) Lösen Sie: i) x + 6 − 2x − 1 = 0 ii) x + x 2 − 36 = 4
2.) Fassen Sie zusammen:
a)
2x(r 2 − 4x 2 )
√
r 2 − x 2
− 8x
√
r 2 − x 2 b)
√
1 − x +
x + 1
2 √ 1 − x
c)
√
a 2 + 2ab + b 2
4
:
√
a 2 − 2ab + b 2
4
d)
√
(a − b) 2 + a 2 + b 2 − 2ab
√
2(a + b)(a − b)
3.) Lösen Sie durch Termumformung: 11
a) x 2 + 4 = 8 b) 16 − x 2 = 7 c) x 2 − 49 4 = 0
d) 4x 2 − 14 = 11 e) 2x 2 + 1 2 = 5 f) (2x + 1)2 − 4x = 2
g) 2x 2 + 2x − 4 = 0 h) 4x 2 − 6x + 2 = 0 i)
1
3 x2 − x − 6 = 0
j) (x − 1)(x + 2) = 3x + 6
4.) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen von:
a)
c)
e)
1
1 − x − 1
1 + x = 2 b) 1
1 − x − 1
1 + x = 2
1 − x 2
x 2 − x − 2
x + 1
= 1 d)
a 2 − 1
x − a + a2 + 1
x + a = a +
a3
x 2 − a 2 f)
x 2 − 1
(x + 1)(x + 2) = 1
2x − a
a − b + x + b
a + b =
2ab
a 2 − b 2
5.) Beweisen Sie den Satz von Vieta: x 2 − px + q = 0 = (x − x 1 )(x − x 2 ) mit p = −(x 1 + x 2 ) und q = x 1 x 2 , indem
Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung aus der pq-Formel: x 1/2 = − p 2 ± √ ( p
2) 2 − q verwenden.
11 Also ohne abc−, pq-Formel, etc. sondern ggf. mit quadratischer Ergänzung.
Mathematik Vorkurs P2
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✝41 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny