Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
24.09.2013
12. Tag – Trigonometrische Funktionen
Lösungen zu Trigonometrische Funktionen I
x = 7 4 π + 2kπ ∨ x = 5 π + 2kπ mit k ∈ Z
4
c) sin x · cos x = 0 ⇔ sin x = 0 ∨ cos x = 0, d.h. x = 0,π,2π, . . . ∨ x = π 2 , 3 2π. . . .; damit ergibt sich:
x = k · π
2
mit
k ∈ Z
d) Die normale Sinusfunktion erreicht den Wert 1 bei x = π 2
+ 2kπ mit k ∈ Z . f(x) = sin 2x ist entlang der
x-Achse gestaucht, hat also die Periode π und erreicht den Wert 1 bei
x = π 4
+ kπ mit k ∈ Z
e) (sin x) 2 = 1 4 ⇔ |sin x| = 1 2 ; die Funktion |sin x| ist π-periodisch. Mit sin π 6 = 1 2 und sin 5 6 π = 1 2 folgt:
x = π 6 + kπ ∨ x = 5 6
π + kπ mit k ∈ Z
f) cot x = − √ ( )
3 ⇔ tan x = − √ 1 3
⇒ x = arctan − √ 1
3
= − π 6
Da die Cotangensfunktion π-periodisch ist, erhalten wir die Lösungen:
x = − π 6
+ kπ mit k ∈ Z
g) cos ( 3x − π )
3 = −
1
2 mit der Substitution z = 3x − π 3 lösen wir cos z = − 1 2
( )
( )
:
z 1 = arccos − 1 2
∨ z 2 = 2π − arccos − 1 2
⇔ z 1 = 2 3 π ∨ z 2 = 4 3 π
Damit erhalten wir: x 1 = z 1 + π 3
3
h) 4 sin 2 x + 3 cos x = 9 2
löst man so:
= 1 3 π ∨ x 2 = z 1 + π 3
3
= 5 π und so alle Lösungen:
9
x = 1 3 π + 2kπ ∨ x = 5 9π + 2kπ mit k ∈ Z
4 sin 2 x + 3 cos x − 9 2
= 0 Mit sin 2 x = 1 − cos 2 x ergibt sich
( )
⇒ 4 1 − cos 2 x + 3 cos x − 9 2
= 0 geteilt durch (−4)
⇒ cos 2 x − 3 4 cos x + 1 8
= 0 Substitution mit z = cos x liefert
⇒ z 2 − 3 4 z + 1 8
= 0 eine quadratische Gleichung
√
⇒ z 1/2 = 3 8 ± 9
64 − 8 64 = 3 8 ± 1 8
also
( )
⇒ x 1/2 = arccos z 1/2 = arccos 3
8 ± 1 8
und somit
⇒ x 1 = arccos 1 2 = π 3
und x 2 = arccos 1 4
≈ 1,318 ≈ 75,52◦
Außerdem erhalten wir x 3 = − π 3 = 5 3 π und x 4 ≈ 2π − 1,318 ≈ 4,965 ≈ 284,48 ◦ , da cos x eine gerade
Funktion ist und arccos x nur auf [0,π] definiert ist.
Zu diesen vier Ergebnissen kann man natürlich beliebige Vielfache von 2π addieren.
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝95 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny