Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
23.09.2013
11. Tag – Exponential- und Logarithmusfunktion
Lösungen zu Polynome II
Lösungen zu Polynome II
1.) a) f(x) = x 2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1)
)
b) f(x) = −x 3 + 11x = x ·
(11 − x 2 = −x ·
( )
x 2 − 11
(
= −x ·
)
(
c) Bei f(x) = −x 3 − 2x 2 + 4x + 8 = − x 3 + 2x 2 − 4x − 8
Polynomdivision; wir probieren die Teiler der Konstanten 8:
x − √ )
11
(
· x + √ )
11
brauchen wir zunächst eine Nullstelle für die
1 2 − 4 − 8
x = 1 1 3 − 1
1 3 − 1 -9 = p(1)
1 2 − 4 − 8
x = 2 2 8 8
1 4 4 0 = p(2)
1 2 − 4 − 8
x = − 1 − 1 − 1 5
1 1 − 5 -3 = p(−1)
Damit
(
erhalten wir nun:
) ( )
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 : x − 2 = x 2 + 4x + 4
− x 3 + 2x 2
4x 2 − 4x
− 4x 2 + 8x
4x − 8
− 4x + 8
0
Und so schließlich: f(x) = −(x + 2) 2 (x − 2)
(
d) f(x) = 3x 3 − 4x 2 + 9x − 12 = 3(x 2 + 3) x − 4 )
3
Dieses Polynom lässt sich so leider nicht komplett in Linearfaktoren zerlegen. 25
e) f(x) = x 4 + 2x 3 − 7x 2 − 8x + 12 = (x − 2)(x − 1)(x + 2)(x + 3)
f) f(x) = x 4 − x 3 − 13x 2 + 25x − 12 = (x − 3)(x − 1) 2 (x + 4)
(
g) f(x) = 4x 4 + 4x 3 − 13x 2 − 7x + 6 = 4 · (x + 1)(x + 2) x −
2) 3 ( )
x − 1 2
(
h) f(x) = 3x 4 + 11x 3 − x 2 − 19x + 6 = 3 · (x − 1)(x + 2)(x + 3) x − 1 )
3
25 Wir werden später mit der Verwendung komplexer Zahlen die Möglichkeit erhalten, dieses und ähnliche Polynome doch noch vollständig zu
zerlegen.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny