Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
27.09.2013
15. Tag – Folgen und Grenzwerte
2. Übung: Weitere Funktionen II – Aufgaben
2. Übung: Weitere Funktionen II – Aufgaben
1.) Bilden Sie die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen. Skizzieren Sie außerdem die jeweiligen Graphen.
a) f(x) = 4 − √ x b) f(x) = x + 1
x − 1
c) f(x) = 2 x + 1
d) f(x) = ln ( ln(x) ) e) f(x) = 1 − e x f) f(x) = ln(x 2 )
2.) Zeigen Sie: a) tanh x = 1 − 2
e 2x b) artanh x = 1 ( ) 1 + x
+ 1
2 · ln 1 − x
3.) Lösen Sie die Gleichungen einmal nach y und einmal nach x auf. – Vernachlässigen Sie dabei die Betrachtung der
möglichen Lösungsintervalle und Definitionsbereiche.
a) sin ( y 4) = 5e x b) ln ( cos(3y) ) = (x + 2) −1
c) e sin(y)+2 = ln |x| d) sinh (√ tan y ) = cos ( 3x 2 + 2 )
( (
cos 4y 2 − 2 ) ) ( ) 1
(
e) ln
= tan
15
e x f) 2 + e
tan(y 2 )+3 ) 2 (
= cos(x −3+4 + 2) ) 3
− 3
Lösungen zu Weitere Funktionen II
1.) a) Für f(x) = 4 − √ x ergibt.
sich die globale Umkehrfunktion:
8
y
y = 4 − √ x
⇒ y − 4 = − √ x
⇒ 4 − y = √ x
⇒ x = ( 4 − y ) 2
⇒ f −1 (x) = (4 − x) 2
6
4
mit D f −1 = (−∞; 4]
2
1 2 3 4
x
b) Für f(x) = x + 1
x − 1 = 1 + 2
x − 1
ergibt sich die globale Umkehrfunktion:
y = 1 + 2
x − 1
Mathematik Vorkurs P2
⇒ y − 1 = 2
x − 1
⇒ f −1 (x) = x + 1
x − 1
⇒
1
y − 1 = x − 1
2
⇒
2
y − 1 = x − 1
✞ ☎
✝116 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny