Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

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WiSe 2013/14
07.10.2013
20. Tag – Vektorrechnung in 3D
Lösungen zu Vektorrechnung in 3D I & II
Außerdem gibt es noch verschiedene geometrische Beweise:
•
P
C
•N
A • B
M
.
Man sieht: AB || PN, BC || PM und
AC || NM .
Damit ist bspw. A Schnittpunkt der Geraden
g durch P mit Richtung −−→ MN mit der Geraden
h durch M in Richtung −→ PN . Mit den
Geradengleichungen
⎡ ⎤
⎡ ⎤
s·⎡ ⎤
x
g : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = p + s·−−→ 2 3
MN = ⎢
⎣7
⎥
⎦ + ⎢
⎣−1
⎥
⎦ , s ∈ R
z
8 7
⎡ ⎤
⎡ ⎤
t·⎡ ⎤
x
h : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = m + s·−→ −2 −1
PN = ⎢
⎣ 1⎥
⎦ + ⎢
⎣−7
⎥
⎦ , t ∈ R
z
−4 −5
⎡ ⎤
⎡ ⎤
r·⎡ ⎤
x
i : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = n + s·−→ 1 −4
PM = ⎢
⎣0
⎥
⎦ + ⎢
⎣ −6⎥
⎦ , r ∈ R
z
3 −12
erhält man die Schnittpunkte: A = (−1,8,1), B = (−3, − 6, − 9) und C = (5,6,15) .
Dies ist allerding rechnerisch recht aufwändig, wesentlich elegeganter ist es, wenn man die Parallelogramme, bspw.
AMNP betrachtet:
• Die sich gegenüberliegenden Parallelogrammseiten sind gleich, also gilt für die Vektoren:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−→
PA = −−→
−2 1 2 −1
NM und damit a − p = m − n bzw. a = m − n + p = ⎢
⎣ 1⎥
⎦ − ⎢
⎣0
⎥
⎦ + ⎢
⎣7
⎥
⎦ = ⎢
⎣ 8⎥
⎦
−4 3 8 1
⎡ ⎤
⎡ ⎤
Analog −→ NB = −→
−3
5
PM ⇒ b = m − p + n = ⎢
⎣−6
⎥
⎦ und −→ −→
NC = MP ⇒ c = p − m + n = ⎢
⎣ 6⎥
⎦
−9
15
• Oder man betrachtet die Parallelogramme und erhält die Ortsvektoren a,b,c zu den Punkten A,B,C direkt
a = m + −→ NP = m + p − n
b = m + −→ PN = m + n − p
c = p + −−→ MN = p + n − m
So oder so braucht man für diese Beweise die Parallelogrammeigenschaft:
Wir suchen den Punkt, der mit A, M und P ein Parallelogramm bildet, dieser liegt bei:
a + −→ AP + −→ AM = p + −→ AM = p + m − a = 1 2 (a + c) + 1 2 (a + b) − a = 1 (b + c) = n
2
Damit ist gezeigt, dass N die „fehlende“ Ecke und somit AMNP ein Parallelogramm ist.
Mathematik Vorkurs P2
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✝174 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny