Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
30.09.2013
16. Tag – Differenzieren
Lösungen zu Differenzieren I & II
⇒ f ′′ (x) =
=
( (− sin x) · x + cos x − 3 cos x
)
· x 4 − ( cos x · x − 3 sin x ) · 4x 3
( (− sin x) · x − 2 cos x
)
· x −
(
cos x · x − 3 sin x
)
· 4
= − sin x · x2 − 2 cos x · x − 4 cos x · x + 12 sin x
x 5 =
h) f(x) = tan (e x )
( )
⇒ f ′ (x) = 1 + tan 2 (e x ) · e x = e x + tan 2 (e x ) · e x
( )
⇒ f ′′ (x) = e x + 2 tan (e x ) · 1 + tan 2 (e x ) · e x + tan 2 (e x ) · e x
oder: f ′ (x) =
⇒
1
cos 2 (e x ) · ex =
x 5
ex
cos 2 (e x )
f ′′ (x) = ex · cos 2 (e x ) − e x · 2 cos (e x ) · (−
sin (e x ) ) · e x
cos 4 (e x )
x 8
)
sin x ·
(12 − x 2 − cos x · 6x
x 5
= ex · cos (e x ) + 2e 2x · sin (e x )
cos 3 (e x )
5.) a) f(x) = |x| ist für alle reellen x definiert: D ( (f(x) ) = R
⎧
⎧
⎨ x für x ≥ 0
⎨
Wegen f(x) =
gilt: f ′ 1 für x > 0
(x) =
.
⎩ −x für x < 0
⎩ −1 für x < 0
Für x = 0 können wir keine Ableitung bilden, denn in diesem Punkt ist die Funktion nicht differenzierbar. —
Der scharfe Knick des Graphen erlaubt keine eindeutige Tangente, damit gilt: D ( (f(x) ) = R \ {0} .
b) tan z ist definiert für − π 2 < z < π 2
1
x 2 = 2k − 1
2
( )
f ′ (x) Kettenregel 1
= tan ′ x 2 · (x −2 ) ′ =
(π-periodisch); wegen
1
x 2
π mit k ∈ N ⇒ x =
√
2
(2k−1)π
=⇒ D ( (f(x) ) = R \
(1 + tan 2 1 x 2 )
· (−2) · x −3
=⇒ D ( (f ′ (x) ) = R \
( {√
2
(2k−1)π ; k ∈ Z }
∪ {0}
c) D ( (f(x) ) = R + = [0,∞) . f ′ (x) = cos (√ x ) ·
d) D ( (f(x) ) = R .
⎧
⎨ sin x für x ≥ 0
Wegen f(x) =
⎩ sin(−x) für x < 0
1
2 √ x
)
.
> 0 für x ≠ 0 untersuchen wir:
=⇒ D ( (f ′ (x) ) = (0,∞) .
⎧
⎨
gilt: f ′ cos x für x ≥ 0
(x) =
⎩ − cos(−x) für x < 0
( {√
2
(2k−1)π ; k ∈ Z }
∪ {0}
=⇒ D ( (f ′ (x) ) = R \ {0} , da f(x) nicht differenzierbar in x = 0 ist; f ′ (x) ist nicht stetig fortsetzbar in
x = 0 .
e) Es gilt sin x ≥ 0 für 0 ≤ x ≤ π und allgemein für 2kπ ≤ x ≤ (2k + 1)π mit k ∈ Z .
=⇒ D ( (f(x) ) = R \ ( (2k − 1)π, 2kπ ) mit k ∈ Z .
f ′ 1
(x) =
2 √ sin x · cos x =⇒ D( (f ′ (x) ) = R \ [ (2k − 1)π, 2kπ ] mit k ∈ Z .
⎧
⎧
⎨
√
sin x für 0 ≤ x ≤ π
⎪⎨ 1
f) Wegen f(x) =
gilt: f ′ 2 √ · cos x für 0 < x < π
sin x
(x) =
⎩f(x) = f(x ± π) sonst
⎪⎩ f ′ (x) = f ′ (x ± π) sosnt
)
.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny