Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
01.10.2013
17. Tag – Kurvendiskussion
17. Tag – Kurvendiskussion
1. Übung: Kurvendiskussion I – Aufgaben
1.) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte der folgenden Funktionen. Skizzieren Sie die Graphen.
a) f(x) = x 3 − 2x 2 − 3 b) f(x) = 2x 3 + 2x − 6
c) f(x) = 1 2 x3 − 2x 2 + 3x − 4 d) f(x) = −2x 3 + 3x + 5
e) f(x) = 4x 3 + 2x 2 + 5x − 3 f) f(x) = −3x 3 − 6x 2 + 5x − 5
2.) Berechnen Sie Radius und Höhe des in eine Kugel vom Radius R eingesetzten Kreiszylinders maximalen Volumens.
3.) Skizzieren Sie die Funktionen ohne Kurvendiskussion:
a) f(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 2) 2 b) f(x) = e ax für a = ±1, ±2, ± 1 2
c) f(x) = (3 − x)(x + 1)(x − 1) d) f(x) = ln (ax) für a = ±1, ±2, ± 1 2
4.) Diskutieren Sie die folgenden Funktionen:
a) f(x) = √ x 3 − 4x b) f(x) = e 1
2x
c) f(x) = 3x · e −x
Lösungen zu Kurvendiskussion I
1.) a) f(x) = x 3 − 2x 2 − 3 =⇒ f ′ (x) = 3x 2 − 4x und f ′′ (x) = 6x − 4
Stationäre Stellen: f ′ !
(x) = 0 ⇔ 3x 2 − 4x = 0 ⇒ (3x − 4)x = 0
Wir haben die stationären Stellen x 1 = 0 ∧ x 2 = 4 3
Extrempunkte: ( ) f ′′ (0) = −4 < 0 ( Also ist ) bei (0, − 3) ein lokales Maximum.
f ′′ 4
3
= 4 > 0 Also ist bei 4
3 , − 113
27
ein lokales Minimum.
!
Wendepunkte: f
( ′′ (x) = 0
)
⇔ 6x − 4 = 0 ⇒ x = 2 3
Wendepunkt bei 2
3 − 97
27
; da (bei einer stetigen Funktion) zwischen Maximum und Minimum ein Wendepunkt
sein muss – alternativ mit der dritten Ableitung bestätigen.
Skizze:
.
y
2
−1
−2
HP •
−4
−6
WP
•
1 2
TP
•
f(x) =x 3 − 2x 2 − 3
x
b) f(x) = 2x 3 + 2x − 6 =⇒ f ′ (x) = 6x 2 + 2 und f ′′ (x) = 12x
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝129 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny