Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
02.10.2013
18. Tag – Integrieren
Lösungen zu Integrieren I
2.) a)
b)
c)
ˆ
ˆ
ˆ
x 4 dx = 1
4 + 1 x4+1 + C = 1 5 x5 + C
ˆ
x 2 + 3x 3 dx =
ˆ
2 sin x dx = 2
ˆ
x 2 dx + 3 ·
x 3 dx = 1
1
2 + 1 x2+1 + 3 ·
3 + 1 x3+1 + C = 1 3 x3 + 3 4 x4 + C
sin x dx = 2 · (− cos x) + C = −2 cos x + C
d)
e)
f)
g)
h)
ˆ ˆ 2 1
x dx = 2 dx = 2 ln |x| + C
x
ˆ
ˆ
3 + 3 · tan 2 x dx = 3 1 + tan 2 x dx = 3 tan x + C
ˆ
ˆ
ˆ
3√ 3√
7x dx = 7
3√ 3√ 3√
x dx = 7 x 3 1 1
dx = 7·
1
3 + 1 ·x √ 1
3 +1 3
3√
+C = 3 7·
4 ·x 4 7 · 3
3 +C = · 3√
x
4
4 + C
ˆ ˆ 5
x 2 dx = 5 x −2 1
dx = 5
−2 + 1 x−2+1 + C = −5 x −1 + C = − 5 x + C
ˆ
ˆ ˆ ˆ
x + sin x − e −x dx = x dx + sin x dx + −e −x dx
= 1
1 + 1 x1+1 + (− cos x) + (e −x ) + C = x2
2 − cos x + e−x + C
i)
ˆ ˆ cos x (sin x)
′
sin x dx = dx = ln ( |sin x| ) + C
sin x
Diese Stammfunktion erhält man entweder mit der Regel für das logarithmische Integrieren:
ˆ f ′ (x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + C
oder mit Substitution:
ˆ cos x
dt
dx mit t := sin x =⇒
sin x dx
ˆ ˆ cos x cos x
=⇒
sin x dx = ·
t
= cos x ⇒ dx =
1
cos x dt
ˆ
1 1
cos x dt = t dt = ln |t| + C = ln ( |sin x| ) + C
3.) a) Für die Partialbruchzerlegung ergibt sich:
7x + 1
x 2 − x = 7x + 1
x · (x − 1) = A x +
B A · (x − 1)
=
x − 1 x · (x − 1) +
B · x
(x − 1) · x
Und daraus durch Koeffizientenvergleich das LGS: A + B = 7
−A = 1
=
(A + B) x + (−A)
x · (x − 1)
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny