Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
04.10.2013
19. Tag – Vektorrechnung in 2D
19. Tag – Vektorrechnung in 2D
1. Übung: Vektorrechnung in 2D I – Aufgaben
[ ] [ ]
1 −1
1.) Gegeben sind a = ; b =
2
0
a) Berechnen Sie die Längen der Vektoren.
b) Berechnen Sie:
⎡ ⎤ [
; c = ⎣ 1 / 2
⎦ ; d =
5/ 4
]
−2
; e =
− 1 / 3
i) a + b ii) 3c iii) |4c + 2d| iv) e − d
v) a · b vi) (2b) · d vii) a 2 − b 2 viii) 2e · a − d · (4c)
c) Berechnen Sie die Winkel (a; b), (a; d), (b; c) und (c; e) .
d) Zeichnen Sie die Vektoren in ein Koordinatensystem.
e) Fasst man die gegebenen Vektoren als Ortsvektoren auf, erhält man die Punkte A, B, C , D und E . Geben Sie je
eine Parameterdarstellung der Geraden durch A und einen der anderen Punkte an.
2.) Zeichnen Sie die folgenden Punkte in ein Koordinatensystem:
P 1 = (0, 1) ; P 2 = (1, 3) ; P 3 = (4, −2) ; P 4 = (−3, −3) ; P 5 = (0, 5) ; P 6 = (−5, 2)
a) Bestimmen Sie die Ortsvektoren der Punkte.
b) Bestimmen Sie alle Verbindungsvektoren zwischen den Punkten.
c) Wo liegen die Punkte, die durch die folgenden Vektoren bestimmt sind:
[
]
3
1
q 1 = 2p 1 ; q 2 = 3p 2 + 2p 3 ; q 3 = −p 2 + 3p 3 − 4p 6 ?
.
d) Wo liegen die Punkte, die durch die folgenden Vektoren bestimmt sind:
r 1 = p 1 + p 3 ;
r 2 = p 1 + −−→ P 2 P 4 ;
r 3 = −−→ P 3 P 6 + −−→ P 1 P 4 ;
r 4 = −−→ P 6 P 5 + −−→ P 3 P 1 + −−→ P 4 P 2 ?
e) Berechnen Sie die paarweisen Skalarprodukte der Ortsvektoren der Punkte P 1 bis P 6 .
f) Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden durch P 1 und jeweils einen der anderen Punkte, sowohl in vektorieller
Form, als auch in der Schreibweise linearer Funktionen f : R → R, x ↦→ f(x) .
3.) a) Zeichnen Sie das Dreieck mit den Ecken A = (1,1), B = (7,2) und C = (4,4) .
b) Bestimmen Sie die seitenhalbierenden Punkte D auf AB, E auf BC und F auf CA .
c) Bestimmen Sie die paarweisen Schnittpunkte der Strecken DC , EA und FB .
d) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Dreieckshöhen.
e) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der drei mittelsenkrechten Geraden, die entstehen, wenn man durch D senkrecht
auf AB eine Gerade legt – und analog durch E senkrecht auf BC sowie durch F senkrecht auf CA .
f) Stellen Sie die Parametergleichung der sog. Eulerschen Geraden durch die Schnittpunkte aus c), d) und e) auf.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny