Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
20.09.2013
10. Tag – Polynome
Lösungen zu Funktionsbegriff II
• ( g ◦ h ) (x) = −x 2 + 6x − 9 = −(x − 3) 2 ist umkehrbar für x ≥ 3 mit ( g ◦ h ) −1
1
(x) = 3 + √ −x
und umkehrbar für x < 3 mit ( g ◦ h ) −1
2
(x) = 3 − √ −x .
• (h ◦ f) (x) = 1 − x; ist global umkehrbar mit (h ◦ f) −1 (x) = 1 − x = (h ◦ f) (x) .
• ( h ◦ g ) (x) = x 2 + 3 ist umkehrbar für x ≥ 0 mit ( h ◦ g ) −1
1
(x) = + √ x − 3
und umkehrbar für x < 0 mit ( h ◦ g ) −1
2
(x) = − √ x − 3 .
• ( f ◦ g ◦ h ) (x) = −(3 − x) 2 + 2 ist umkehrbar für x ≥ 3 mit ( f ◦ g ◦ h ) −1
1
(x) = 3 + √ 2 − x
und umkehrbar für x < 3 mit ( f ◦ g ◦ h ) −1
2
(x) = 3 − √ 2 − x .
• ( g ◦ h ◦ f ) (x) = −(1 − x) 2 ist umkehrbar für x ≥ 1 mit ( g ◦ h ◦ f ) −1
1
(x) = 1 + √ −x
und umkehrbar für x < 1 mit ( g ◦ h ◦ f ) −1
2
(x) = 1 − √ −x .
• ( h ◦ f ◦ g ) (x) = x 2 + 1 ist umkehrbar für x ≥ 0 mit ( h ◦ f ◦ g ) −1
1
(x) = + √ x − 1
und umkehrbar für x < 0 mit ( h ◦ f ◦ g ) −1
2
(x) = − √ x − 1 .
f) • ( f ◦ g ) (x) = |x − 1| 2 + |x − 1| ist nicht surjektiv, denn es werden keine negativen Funktionswerte erreicht.
Die Funktion ist auch nicht injektiv, denn
(
f ◦ g
)
(0) = |−1| 2 + |−1| = 2 und
(
f ◦ g
)
(2) = |2 − 1| 2 + |2 − 1| = 2
• (f ◦ h) (x) = x − 2 + √ x − 2 ist nicht surjektiv, denn es gilt (f ◦ h) (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [2,∞), aber da (f ◦ h) (x)
monoton ist 24 , ist diese Funktion injektiv.
• ( g ◦ f ) ∣
(x) = ∣x 2 − x − 1∣ ist weder surjektiv noch injektiv, denn ( g ◦ f ) (x) ≥ 0 ∀ x ∈ R und die innere
Parabel ist symmetrisch zur Parallelen der y-Achse durch den Scheitelpunkt.
• ( g ◦ h ) (x) = ∣ √ ( (g ) )
x − 2 − 1∣ ist weder surjektiv ◦ f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ R noch injektiv:
(
g ◦ h
)
(2) =
∣ ∣∣ √
2 − 2 − 1
∣ ∣∣ = 1 =
∣ ∣∣ √
6 − 2 − 1
∣ ∣∣ =
(
g ◦ h
)
(6)
• (h ◦ f) (x) = √ x 2 − x − 2 ist nicht surjektiv, denn es werden keine negativen Funktionswerte erreicht. Die
Funktion ist auch nicht injektiv, denn die innere Parabel ist symmetrisch zur Parallelen der y-Achse durch
den Scheitelpunkt.
24 Die lineare Funktion ist augenscheinlich monoton wachsend, die Wurzel auch und die Summe erhält die Monotonie.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny