Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

2. Übung: e/ln-Funktion II – Aufgaben
(
1.) a) Berechnen Sie: i) ln e 2 · e √ )
5
WiSe 2013/14
24.09.2013
ii)
12. Tag – Trigonometrische Funktionen
2. Übung: e/ln-Funktion II – Aufgaben
(
ln e 3 · 5√ )
e 4
b) i) Vereinfachen Sie (a > 0): e 2 ln(a)+ln(5a) – Was ergibt sich für a = 7?
ii) Vereinfachen Sie (a > 0): e 2 ln(a3 )−ln(2a)
– Was ergibt sich für a = −2?
( )
c) Schreiben Sie mithilfe der Exponentialfunktion e x :
4√ √ 2
3
d) Schreiben Sie mithilfe des natürlichen Logarithmus: log a (10) + log b (10)
e) Fassen Sie zu einem Logarithmus zur Basis a zusammen: 5 log a (x) + 3 log a (y) und 5 log a (x) + 3 .
2.) Lösen Sie
a) ln(x 3 ) + 2 = 0 b) 3 x−2 = 5 3
c) e 2x + e x − 1 = 0 d) ln(x) + ln( √ x) = 2 ln(x)
e) 4 3x−5 = 32 f) a 7 · a 3(x+2) = a · a x(x−1)
g) 4 x−1 + 5 2 · 2x − 11
4 = 0 h) 22x−1 + 5 · 2 x + 9 2 = 0
3.) Lösen Sie die Gleichungen f(x) = 1 und g(x) = 1 für die Funktionen f(x) = e 2x und g(x) = e (x2) .
Was können Sie daraus für die Funktionen f(x) und g(x) folgern?
4.) Zeichnen Sie die folgenden Funktionen, ggf. mittels einer Wertetabelle
(−x 2)
a) f(x) = e x−1 b) f(x) = −e 3x−2 c) f(x) = e
)
d) f(x) = ln |x| e) f(x) = ln
(x 3 ln |x + 1|
f) f(x) =
ln 2
Lösungen zu e/ln-Funktion II
1.) a) i) ln(e 2 · e √5 ( )
) = ln e 2+√ 5
= 2 + √ 5
(
ii) ln e 3 · 5√ ) ( )
e 4 = ln e 3+ 4 5 = 19
5
b) i) e 2 ln(a)+ln(5a) = e 2 ln(a) · e ln(5a) = e ln(a2) · (5a) = a 2 · 5a = 5a 3
Für a = 7 ergibt sich: 5a 3 = 5 · 7 3 = 35 · 49 = 1715
( )
a 6
((a
ii) e 2 ln(a3 )−ln(2a) = e ln 3 ) 2) ln
−ln(2a)
= e
ln(a 6 )−ln(2a) 2a
= e
= 1 2 a5
c)
(
1
Für a = −2 ergibt sich:
2 a5 = 1 2 (−2)5 = −2 4 = −16
)
4√ √ (
2
√ ) √ ( )
ln 4
2 √
3 2·ln 3 1 4
3 = e = e = e √ 2· 14
√ ·ln(3) 2
= e 4 ·ln(3)
(
oder:
)
4√ √ 2 )
3 =
(3 √ 4 1 2 √ ln 2
= 3 4 = e
(
3
√ )
2
4
√
2
= e 4 ·ln(3)
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny