Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
30.09.2013
16. Tag – Differenzieren
16. Tag – Differenzieren
1 & 2. Übung: Differenzieren I & II – Aufgaben
1.) Bilden Sie die erste, zweite und dritte Ableitung von:
a) f(x) = x 4 b) f(x) = 2x 5 c) f(x) = 3x 4 + 4x 2
d) f(x) = 3x 11 − 3x 7 e) f(x) = 3x −2 f) f(x) = 1
x 3
g) f(x) = 5x 4 + 2x −4 h) f(x) = 3x 8 − 2x 4 − 5 x + 2
x 3
2.) Bestimmen Sie
a) f ′ (1) für f(x) = 3x 3 + 2x + 1 b) g ′ (π) für g(x) = 3x · sin(x)
( ) 3
c) h ′ (2) für h(x) = 2x 2 + x
d) i ′ (0) für i(x) = x2 − 3x
3x 3 − 2
3.) Bestimmen Sie Definitionsbereich, Ableitung und Definitionsbereich der Ableitung für:
a) f(x) = 1 4 x4 + 1 3 x3 + 1 2 x2 + x + 1 b) f(x) = x 2 + t 2 c) f(t) = x 2 + t 2
( ) x 5
d) f(x) =
e) f(x) = cos 3x f) f(x) = cos x 3 g) f(x) = cos 3 x
1 + x
h) f(x) = (x 5 + sin x) 7 i) f(x) = √ x 2 − 5x + 6 j) f(x) = √ −x 4 + 11
4.) Bilden Sie die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen:
a) f(x) = 3x 5 − 4x 3 + 1 2 x − 5 b) f(x) = sin x · cos x c) f(x) = x2 − 2x + 4
x − 3
d) f(x) = cos x · ln x e) f(x) = e 1 2 x2 f) f(x) = x 2 · arctan x
g) f(x) = sin x
x 3 h) f(x) = tan (e x )
5.) Bestimmen Sie Definitionsbereich, Ableitung und Definitionsbereich der Ableitung für:
a) f(x) = |x| b) f(x) = tan 1 x 2 c) f(x) = sin √ x d) f(x) = sin |x|
e) f(x) = √ sin x f) f(x) = √ √ √
x + 1
|sin x| g) f(x) =
h) f(x) = x + √ x + √ x
x − 2
6.) Berechnen Sie die erste Ableitung von
a) f(x) = 5x 3 b) f(x) = 4x 4 + 1 2 x2 + 1 x
c) f(x) = 3
x 3 + 4x −1
d) f(x) = − sin 2x e) f(x) = cos 2 x − tan x f) f(x) = arctan x + sin 1 x
g) f(x) = e −x + e
(
x −2) h) f(x) = (e x ) 3 + arcsin x i) f(x) = ln x + ln 2
3x
f (x 0 + h) − f (x 0 )
7.) Berechnen Sie den Grenzwert lim
h → 0 h
Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt
für die Funktion f(x) = x 3 , x 0 ∈ R, und geben Sie die
( )
x 0 ,x0
3 an.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny