Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
10.09.2013
2. Tag – Mengenlehre & Aussagenlogik
Lösungen zu Elementares Rechnen II
3.) a) x = 2 − y in 2x − 3y eingesetzt: 2(2 − y) − 3y = 4 − 2y − 3y = 4 − 5y
b) y = 2 − x in 2x − 3y eingesetzt: 2x − 3(2 − x) = 2x − 6 + 3x = 5x − 6
c) x = y + 1 in x − xy eingesetzt: (y + 1) − (y + 1)y = y + 1 − y 2 − y = 1 − y 2
d) y = 1 x − 1 in x − xy eingesetzt: x − x (
1
x − 1 )
= x − 1 + x = 2x − 1
e) a = x − 1 in 2x − 4ax eingesetzt: 2x − 4(x − 1)x = 2x − 4x 2 + 4x = 6x − 4x 2
f) x = a 2 − 2a − 1 in 2x − 4ax eingesetzt:
( ) ( )
2 a 2 − 2a − 1 − 4a a 2 − 2a − 1 = 2a 2 − 4a − 2 − 4a 3 + 8a 2 + 4a = −4a 3 + 10a 2 − 2
g) x = 2a + 3b in
1
x − 3b eingesetzt: 1
2a + 3b − 3b
h) x = 1 y − y in −2(y 2 − 1)
x 2
i) x = z − 1 z
in
x + 2 x
eingesetzt:
eingesetzt:
−2(y 2 − 1)
(
1
y − y ) 2
(
z − 1 )
+
z
2
(
z − 1 z
4.) a) Die angegebene Formel zeigt man mit Hilfe der 1. Binomischen Formel:
( (a + b) + c
) 2 = (a + b) 2 + 2 (a + b) c + c 2 =
(a 2 + 2ab + b 2) + 2ac + 2bc + c 2
)
= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
( ) 2
b) 4x 2 − 16xy + 16y 2 + 25z 4 + 20xz 2 − 40yz 2 = (2x) 2 + (−4y) 2 + 5z 2 − 16xy + 20xz 2 − 40yz 2
( ) 2
= (2x) 2 + (−4y) 2 + 5z 2 + 2 · 2x · (−4y) + 2 · 2x · 5z 2 + 2 · (−4y) · 5z 2
) 2
=
(2x − 4y + 5z 2
c)
a 2
4 + 3aB2 − 4a D + 9B4 − 24B2
D + 16
D 2
( ) a 2
= +
(3B 2) (
2
+ − 4 ) 2
+ 2 ·
2
D
= a2
( a
2
)
·
4 + 9B4 + 16
D 2 + 3aB2 − 4a D − 24B2
D
(
3B 2) ( ) ( a
+ 2 · · − 4 )
+ 2
2 D
(
3B 2) ·
(
− 4 )
D
( a
=
2 + 3B2 − 4 ) 2
D
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝15 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny