Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
07.10.2013
20. Tag – Vektorrechnung in 3D
20. Tag – Vektorrechnung in 3D
1. & 2. Übung: Vektorrechnung in 3D I & II – Aufgaben
1.) Zeigen sie, dass für beliebige v ∈ R 3 gilt: v 2 =
∣
∣v 2 ∣ ∣∣ = |v| 2 .
2.) Gegeben seien die Punkte P = (2, −1, 0), Q = (5, 3, −2), R = (0, −3, 4). Berechnen Sie die Verbindungsvektoren
−→
PQ, −→ PR, −→ RQ, und −→ RP .
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
5 7
−2
3.) Gegeben seien die Vektoren a = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ , b = ⎢
⎣−3
⎥
⎦ und c = ⎢
⎣ 1⎥
⎦ . Berechnen Sie:
2 4
−1
a) |a| , |b| , |c|
b) a + b, a − b, b + c, b − a
c) 3a + 2b, 2a − 3b, 2 (a + b) − 2 (b − c) + 3 (c − a)
4.) Stellen Sie die folgenden Geraden analytisch dar:
a) Gerade durch die Punkte A = (2, −1, 5), B = (−2, 6, 6);
⎡ ⎤
8
b) Gerade mit dem Anfangspunkt A = (3, −2, 3) und dem Richtungsvektor s = ⎢
⎣ 7⎥
⎦ ;
−2
c) Die z-Achse;
d) Gerade senkrecht zur xz-Ebene durch den Punkt A = (1, −1, −1);
e) Die Geraden in der xz-Ebene durch (0, 0, 0), die mit der positiven x-Achse einen Winkel von 45 ◦ einschließen.
)
5.) Durch die Punkte P 0 = (3, 1, 7) und P 1 =
(− 1 2 , 5, −3 werde eine Gerade gelegt. Liegen die Punkte
( )
Q = (−4,9, −13) bzw. R = 1
2 , 1 2 , 1 auf dieser Geraden?
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 1
2
6.) Gegeben sind die Vektoren a = ⎢
⎣2
⎥
⎦ , b = ⎢
⎣−2
⎥
⎦ , c = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ und d = ⎢
⎣ 0⎥
⎦ .
3 1 −1
−4
a) Berechnen Sie die Längen der Vektoren.
b) Welche Winkel schließt a mit den drei anderen Vektoren ein?
c) Berechnen Sie – möglichst geschickt – alle Spatprodukte dieser vier Vektoren.
7.) Untersuchen
⎡ ⎤
Sie
⎡
die
⎤
gegenseitige
⎡ ⎤
Lage der zwei
⎡
Geraden:
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x −1 2
x 4 5
a) g : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ + λ · ⎢
⎣ 1⎥
⎦ und h : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣ 3⎥
⎦ + µ · ⎢
⎣ 2⎥
⎦ λ, µ ∈ R
z 1 −1
z −4 −3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x 0 0
x 0 1
b) g : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣1
⎥
⎦ + λ · ⎢
⎣2
⎥
⎦ und h : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ + µ · ⎢
⎣1
⎥
⎦ λ, µ ∈ R
z 2 4
z 2 8
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝169 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny