Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
13.09.2013
5. Tag – Potenzen & Logarithmen
Lösungen zu Potenzen & Logarithmen I
6.) a) Berechnen Sie (ohne Taschenrechner!) unter Verwendung von
lg 2 ≈ 0,301 ; lg 3 ≈ 0,477 ; lg 7 ≈ 0,845
die dekadischen Logarithmen der natürlichen Zahlen von 1 bis 10 mit 3 Nachkommastellen
b) Ermitteln Sie aus den Ergebnissen von a) und ln 10 ≈ 2,303 die natürlichen Logarithmen der natürlichen Zahlen
von 1 bis 4 mit 3 Nachkommastellen.
7.) Berechnen Sie:
a)
( )
9∑ 1 k
k=0 2
b)
d)
( )
16∑ 1 k
+ ∞ ( )
∑ 1 k
k=2 2 k=18 2
e)
12∑
k=5
7∑
k=−2
2 k c)
2
3 k+1 f)
∞∑
) k
( 1
k=0 3
( ) 2
∞∑ 3 k
4 k−4
k=1
Lösungen zu Potenzen & Logarithmen I
1.) a)
(
1 +
4) 3 2 (
: 2 + 1 3 ( ) 7 2 ( 7 3
= : =
3)
4 3) 72
( ) 1 −4
b) 4 −2 · = 1 4 4 2 · 1
( 1 4
=
4) 1 4 2 · 44 = 4 2 = 16
4 2 · 33
7 3 = 33
4 2 · 7 = 27
112
c)
d)
e)
f)
(
− 1 ) −5
a −4 =
( ) 3 −2 ( 4
·
4 3
⎛
( ) 2 −3 1
: ⎜ 2
5 ⎝
⎛
(
⎞
−2
9 ⎜
8) ⎝ )
⎟
2 ⎠
(
16
6
( ) −5
−a 4 1 = ( ) −a 4 5 = 1
(−1) 5 · a 4·5 = − 1
a 20
( ) 4 2 ( 3 3
· =
3 4) 42
3 2 · 33
4 3 = 3 4
) −3
=
(
3
4
−3
⎞
)
⎟
2 ⎠
−2
( ) 5 3
= ·
2
⎛
(
⎞
2
8 = ⎜
3) ⎝ )
⎟
−2 ⎠
(
9
8
3
⎛ ⎞
⎝ 1 2 ⎠
3 2
4 2
2
⎛
(
⎞
2
8 = ⎜
3) ⎝ )
⎟
2 ⎠
(
8
9
= 53
2 3 ·
3
=
( 1
2 · 16 ) 2
= 53
9 2 3 · 82
9 2 = 53 · 8
9 2 = 1000
81
( (8
3
) 2 ( ) )
9
2
3
· =
8
( 8
3 · 9 ) 6
= 3 6 = 729
8
2.) a) (4a − 3b) 4 =
=
4∑
k=0
( 4
k)
(4a) 4−k (−3b) k
( 4
0)
(4a) 4 +
( ( ( ( 4 4 4 4
(4a)
1)
3 (−3b) + (4a)
2)
2 (−3b) 2 + (4a) (−3b)
3)
3 + (−3b)
4)
4
= 1 · (4a) 4 − 4 · (4a) 3 · (3b) + 6 · (4a) 2 · (3b) 2 − 4 · (4a) · (3b) 3 + 1 · (3b) 4
= 256a 4 − 762a 3 b + 864a 2 b 2 − 432ab 3 + 81b 4
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny