Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
16.09.2013
6. Tag – Wurzeln
Lösungen zu Wurzeln I
2.) a)
2x(r 2 − 4x 2 )
√
r 2 − x 2
√
− 8x
√r 2 − x 2 = 2x(r2 − 4x 2 ) √ r
√ − 8x r 2 − x 2 ·
2 − x
√ 2
r 2 − x 2
r 2 − x 2
= 2x(r2 − 4x 2 )
√
r 2 − x 2 − 8x(r2 − x 2 )
√
r 2 − x 2 = 2x(r2 − 4x 2 ) − 8x(r 2 − x 2 )
√
r 2 − x 2
= 2xr2 − 8x 3 − 8xr 2 + 8x 3
√
r 2 − x 2 = −6xr2 √
r 2 − x 2
b) √ 1 − x + x + 1
2 √ 1 − x = √ 1 − x · 2√ 1 − x
2 √ 1 − x + x + 1
2 √ 1 − x
√ √ √
a 2 + 2ab + b 2 a 2 − 2ab + b 2 (a + b)
2
(a − b)2
c)
:
= : =
4
4
4 4
√ √
√
(a − b)
d)
2 + a 2 + b 2 − 2ab (a − b) 2 + (a − b) 2
√ =
=
2(a + b)(a − b) 2(a + b)(a − b)
3.) a) x 2 + 4 = 8 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x 1/2 = ±2
=
2(1 − x)
2 √ 1 − x + x + 1
2 √ 1 − x = 3 − x
2 √ 1 − x
√
(a + b) 2
4
·
4
(a − b) 2 = a + b
a − b
√
✁2(a − b)✄ 2 a − b
✁2(a + b)✘(a ✘ − ✘ b) = a + b
b) 16 − x 2 = 7 ⇒ −x 2 = −9 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x 1/2 = ±3
√
c) x 2 − 49
4 = 0 ⇒ x2 = 49
√
49
4
⇒ x 1/2 = ±
4 = ± √ 49
4
= ± 7 2
⇒ x 1/2 = ± 7 2
d) 4x 2 − 14 = 11 ⇒ 4x 2 = 25 ⇒ x 2 = 25
4
⇒ x 1/2 = ± 5 2
e) 2x 2 + 1 2 = 5 ⇒ 2x2 = 9 2
⇒ x 2 = 9 4
⇒ x 1/2 = ± 3 2
(
)
f) (2x + 1) 2 − 4x = 2 ⇒ 4x 2 + 4x + 1 − 4x = 2 ⇒ 4x 2 + 1 = 2 ⇒ 4x 2 = 1
⇒ x 2 = 1 4
⇒ x 1/2 = ± 1 2
= 0
g) 2x 2 + 2x − 4 = 0 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 ⇒ x 2 + 2 · x · 1 ( { ) }} {
1 2 ( ) 1 2
2 + − −2 = 0
2 2
(
⇒ x + 1 ) 2
= 9 ⇒ x + 1 2 4
2 = ±3 ⇒ x = − 1 2
2 ± 3 2
⇒
x 1 = 1 ∧ x 2 = −2
h) 4x 2 − 6x + 2 = 0 ⇒ x 2 − 3 2 x + 1 2 = 0 ⇒ x2 − 2 · x · 3 ( ) 3 2 ( ) 3 2
4 + − + 1 4 4 2 = 0
(
⇒ x − 3 ) 2
− 9 4 16 + 8 (
16 = 0 ⇒ x − 3 ) 2
= 1 ⇒ x − 3 4 16
4 = ±1 4
⇒ x = 3 4 ± 1 4
⇒ x 1 = 1 ∧ x 2 = 1 2
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝43 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny