Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
17.09.2013
7. Tag – Lineare und quadratische Funktionen
Lösungen zu Lineare und quadratische Funktionen I
Lösungen zu Lineare und quadratische Funktionen I
1.) a) Nullstellen: y 1 = 2x − 5 = 0 ⇒ x = 5 2
y 2 = − 5 6 x + 1 = 0 ⇒ x = 6 5
( ) 5
=⇒ N =
2 ; 0
( ) 6
=⇒ N =
5 ; 0
Schnittpunkt: 2x − 5 = − 5 6 x + 1 ⇒ 17
6 x = 6 ⇒ x = 36
17
=⇒ S =
( ) 36
17 ; −13 17
b) Wir benutzen die Punkt-Steigungsform: y = m(x − x 0 ) + y 0 = − 2 5 (x + 3) + 2 = −2 5 x + 4 5
c) y = m(x − x 0 ) + y 0 = y 1 − y 0
(x − x 0 ) + y 0 = 3 − 7 (x + 1) + 3 = 1(x + 1) + 3 ⇒ y = x + 4
x 1 − x 0 −1 − 3
d) Aus 3x + 5y = 1 folgt y = − 3 5 x + 1 5 , für m = −3 5 und b = 1 5
sind die Geraden identisch.
Für m = − 3 5 und b ≠ 1 5
einen Schnittpunkt.
sind die Geraden parallel und für alle Werte m ≠ −3 , b ∈ R haben die Geraden
5
e) Die Gerade y = y 1 − y 0
x 1 − x 0
(x − x 0 ) + y 0 = 3 − 1
1 + 2 (x − 1) + 3 = 2 3 (x − 1) + 3 ⇒ y = 2 3 x + 7 3
geht durch
die Punkte P 1 und P 2 . Daraus ergibt sich: y = 2 3 x + 7 3
⇒ 3 7 y = 2 7 x + 1 =⇒ −2 7 x + 3 7 y = 1
f) Die Geraden y = − A 1
B 1
x + C 1
B 1
und y = − A 2
B 2
x + C 2
B 2
haben für − A 1
B 1
≠ − A 2
B 2
genau einen Schnittpunkt.
Für − A 1
B 1
= − A 2
B 2
und C 1
B 1
≠ C 2
B 2
sind sie parallel.
g) Die quadratische Funktion y = −3x 2 + 5x − 10 = −3
( 5
Parabel mit Scheitelpunkt S =
6 ; −95 12
(
x − 5 ) 2
− 95
6 12
)
; d.h. der Wertebereich ist W =
Um die Urbildstellen zu berechnen formen wir die Gleichung nach x um:
beschreibt eine nach unten geöffnete
(
−∞; − 95 ]
12
(
y = −3 x − 5 6
) 2
− 95
12
⇒ y + 95 (x
12 = −3 − 5 ) 2
⇒ − 1 6
3 y − 95 (x
36 = − 5 ) 2
√
=⇒ x = − 1 6
3 y − 95
36 + 5 6
h) Der Scheitel (x S ; y S ) = (−2; 3) liefert: y = m(x + 2) 2 + 3 .
Der Punkt (5; 7) liefert: 7 = m(5 + 2) 2 + 3 ⇒ 7 = 49m + 3 ⇒ m = 4 49
Es gilt: y = 4 49 (x + 2)2 + 3
(
i) i) Es gilt: y = −3x 2 − 2x + 6 = −3 x + 1 ) 2
+ 19
(
⇒ S = − 1 3 3
3 ; 19 )
, d.h. der Scheitelpunkt der
3
nach unten geöffneten Parabel liegt über der x-Achse, also muss es zwei Nullstellen geben.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny